O potencial electrostatico debido a dois filamentos infinitos paralelos con densidade de carga linear e é , onde e . Pensamos nos filamentos sobre a direção , passando por o plano em e . Encontrar .

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial eletrostático de dois filamentos infinitos paralelos com densidades lineares +lambda e -lambda no plano xy:
V(x,y)=lambda2piepsilon0ln!gl(r2r1gr),
onde
r1^2=(x-x0)^2+y^2, r2^2=(x+x0)^2+y^2
Queremos achar o campo eletrostático nabla V(x,y).

Passo 2

Note que
V=lambda2piepsilon0l(ln r2-ln r1r)
e que, em geral,
nabla(ln rk)=1rknabla rk
Assim
nabla V=lambda2piepsilon0l(nablaln r2-nablaln r1r) =lambda2piepsilon0l(nabla r2r2-nabla r1r1r)

Passo 3

Agora usamos a definição de rk. Para r1=raiz(x-x0)^2+y^2 e r2=raiz(x+x0)^2+y^2 vale
nabla r1=(x-x0),i+y,jr1, nabla r2=(x+x0),i+y,jr2

Passo 4

Substituindo em nablaln rk=nabla rk/rk temos
nablaln r1=(x-x0),i+y,jr1^2, nablaln r2=(x+x0),i+y,jr2^2
Logo
nabla V=lambda2piepsilon0gl[(x+x0),i+y,jr2^2 -(x-x0),i+y,jr1^2gr]

Passo 5

Separando as componentes i e j e rearranjando, obtemos a forma final simplificada.

Resposta

nabla V(x,y) =lambda2piepsilon0l[l(tfracx+x0r2^2-tfracx-x0r1^2r)i +l(tfracyr2^2-tfracyr1^2r)jr]

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