Seja
para
tal que
. Mostre que o plano tangente ao grafico de
em
é ortogonal ao vetor com componentes
.
Sug. Mostre que o vetor normal
à superfície é multiplo de
.
Sug. Mostre que o vetor normal
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
definida para
com
, e pede para mostrar que o plano tangente ao seu gráfico em
é ortogonal ao vetor
.
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de que o gráfico de é a “meia-esfera” inferior de raio 1, e aplicação do fato de que o vetor gradiente de uma superfície implícita é normal a ela.
é ortogonal ao vetor
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de que o gráfico de
Passo 2
Reescrevemos o gráfico de
como parte da esfera unitária. De fato, se definirmos
a condição
equivale a
Assim, o gráfico de
é exatamente a metade inferior da esfera de raio 1.
Passo 3
Para a superfície implícita
, o vetor normal em qualquer ponto é dado por
Em particular, no ponto
com , temos
com
Isto mostra que o vetor normal à esfera (e portanto ao gráfico de
) é múltiplo de
.
Passo 4
Como o vetor normal ao gráfico em
é paralelo a
, o plano tangente, que por definição é ortogonal a esse normal, é ortogonal ao vetor
.
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
em
é ortogonal ao vetor
, porque o vetor normal à superfície é um múltiplo de
.