Seja f(x, y)=-(1-x^2-y^2)^1 / 2 para (x, y) tal que x^2+y^2<1. Mostre que o plano tangente ao grafico de f em (x0, y0, f(x0, y0)) é ortogonal ao vetor com componentes (x0, y0, f(x0, y0)).
Sug. Mostre que o vetor normal N à superfície é multiplo de (x0, y0, f(x0, y0)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y) = -l(1 - x^2 - y^2r)^1/2,
definida para (x,y) com x^2+y^2<1, e pede para mostrar que o plano tangente ao seu gráfico em
l(x0,y0,f(x0,y0)r)
é ortogonal ao vetor
l(x0,y0,f(x0,y0)r).
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de que o gráfico de f é a “meia-esfera” inferior de raio 1, e aplicação do fato de que o vetor gradiente de uma superfície implícita é normal a ela.

Passo 2

Reescrevemos o gráfico de f como parte da esfera unitária. De fato, se definirmos
G(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1,
a condição z = f(x,y) equivale a
z = -raiz1 - x^2 - y^2 Long<=ftrightarrow x^2+y^2+z^2 = 1 e z<=0
Assim, o gráfico de f é exatamente a metade inferior da esfera de raio 1.

Passo 3

Para a superfície implícita G(x,y,z)=0, o vetor normal em qualquer ponto é dado por
nabla G(x,y,z) = l(2x,;2y,;2zr)
Em particular, no ponto
l(x0,y0,z0r)
com z0 = f(x0,y0), temos
nabla Gl(x0,y0,z0r) = 2l(x0,y0,z0r)
Isto mostra que o vetor normal à esfera (e portanto ao gráfico de f) é múltiplo de
l(x0,y0,f(x0,y0)r).

Passo 4

Como o vetor normal ao gráfico em l(x0,y0,f(x0,y0)r) é paralelo a
l(x0,y0,f(x0,y0)r), o plano tangente, que por definição é ortogonal a esse normal, é ortogonal ao vetor l(x0,y0,f(x0,y0)r).

Resposta

O plano tangente ao gráfico de f em l(x0,y0,f(x0,y0)r) é ortogonal ao vetor l(x0,y0,f(x0,y0)r), porque o vetor normal à superfície é um múltiplo de l(x0,y0,f(x0,y0)r).

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