A incerteza na determinação da posição de uma partícula quântica,
, é definida como
. Usando as expressões integrais explícitas para os valores esperados, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A matéria é Mecânica Quântica, mais especificamente o conceito de incerteza (variância) de posição. O enunciado diz que
e quer que a gente use as expressões integrais de valor esperado para mostrar que
Para isso a gente vai usar:
- A definição de valor esperado de um operador
,
- Propriedade de linearidade de integrais.
- Normalização
.
Passo 2
Escrevemos logo a definição em forma de integral. Colocando
, temos
Passo 3
Agora expandimos o quadrado
:
Substituindo na integral e usando que a integral de soma é soma de integrais, além de poder tirar constantes de dentro, dá
Passo 4
Agora reconhecemos cada termo:
-
. -
. -
(normalização).
Substituindo isso em cima, temos
Lembre que
, logo
.