A incerteza na determinação da posição de uma partícula quântica, De, é definida como (De)^2>. Usando as expressões integrais explícitas para os valores esperados, mostre que (De-^2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A matéria é Mecânica Quântica, mais especificamente o conceito de incerteza (variância) de posição. O enunciado diz que
(De
e quer que a gente use as expressões integrais de valor esperado para mostrar que
(De
Para isso a gente vai usar:
  1. A definição de valor esperado de um operador ,
  2. Propriedade de linearidade de integrais.
  3. Normalização .

Passo 2

Escrevemos logo a definição em forma de integral. Colocando (De, temos

Passo 3

Agora expandimos o quadrado (x-a)^2 = x^2 - 2a,x + a^2 :
(De
Substituindo na integral e usando que a integral de soma é soma de integrais, além de poder tirar constantes de dentro, dá

Passo 4

Agora reconhecemos cada termo:
  1. (De.
  2. .
  3. (normalização).
    Substituindo isso em cima, temos
Lembre que , logo .

Resposta

(De

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