O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado pela função V(x, y, z)=x^2-3 x y+x y z.
Qual é a taxa de variação máxima do pontencial nesse ponto?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico na região: V(x,y,z)=x^2-3xy+xyz e pede a maior taxa de variação de V em um ponto qualquer. O conteúdo é derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, primeiro montamos o vetor gradiente de V. Lembrando que o gradiente é formado pelas derivadas parciais: nabla V=(partial V/partial x,,partial V/partial y,,partial V/partial z).
Vamos achar cada componente do gradiente:
partial Vpartial x=2x-3y+yz,
partial Vpartial y=-3x+xz,
partial Vpartial z=xy

Passo 3

A derivada direcional de V na direção de um vetor unitário u é dada por DuV=nabla Vcdotu.
A taxa de variação máxima ocorre quando u está alinhado com nabla V. Nesse caso, o valor máximo é o módulo de nabla V:
max DuV=|nabla V|=raiz(2x-3y+yz)^2+(-3x+xz)^2+(xy)^2

Resposta

A maior taxa de variação de V em um ponto (x,y,z) é
raiz(2x-3y+yz)^2+(-3x+xz)^2+(xy)^2

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