Uma linha infinita de carga,
, se estende, no vácuo, ao longo do eixo z , e uma carga pontual Q se localiza no ponto
. Considerar todas as coordenadas em metros. Calcular:
(a) a carga Q de forma que a diferença de potencial
entre os pontos
e
seja de (10+3) V;
(b) o potencial do ponto
caso o potencial no ponto
seja de
;
(c) o trabalho necessário para levar uma carga pontual
de
de
até
;
(d) o trabalho necessário para levar uma carga pontual
de
de
até
.
Obs.: Não considerar a influência da carga
no campo das outras cargas.
(a) a carga Q de forma que a diferença de potencial
(b) o potencial do ponto
(c) o trabalho necessário para levar uma carga pontual
(d) o trabalho necessário para levar uma carga pontual
Passo 1
O enunciado dá uma linha infinita de carga ao longo do eixo
com densidade linear
e uma carga pontual
em
. Pede:
- (a) determinar
de modo que a diferença de potencial entre e seja ; - (b) o potencial em
se o potencial em for ; - (c) o trabalho para levar uma carga puntual
de a ; - (d) o trabalho para levar
de a .
Informações relevantes extraídas do enunciado (calculei as somas indicadas):
Coordenadas (em m):
,
,
, carga
em
. A constante
e
.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas dos potenciais (aula rápida e intuitiva).
- Potencial de uma linha infinita de densidade
a uma distância radial do eixo : a forma que interessa é a diferença de potencial entre dois raios, pois o potencial absoluto de uma linha infinita não tem um zero em infinito. A diferença entre pontos com distâncias radiais e é
Explicação: a densidade linear
cria campo radial
. Integrando
em
dá a expressão logarítmica.
- Potencial de uma carga pontual
em no ponto :
Diferença entre dois pontos
e
devido a
:
onde
e
.
A diferença total de potencial entre
e
é soma das duas contribuições (linha + ponto).
Passo 3
Calcular distâncias radiais ao eixo
e distâncias da carga
aos pontos.
- Distâncias radiais (usei coordenadas do enunciado):
- Distâncias da carga pontual
em :
Passo 4
Escrever a equação para
e isolar
.
Contribuição da linha:
Contribuição da carga pontual:
Somando e impondo
:
Isolando
:
Observação: multipliquei toda a equação por
e reagrupuei. Esta fórmula é direta para calcular
.
Passo 5
Agora fazemos as substituições numéricas (mostrar contas para a prova).
Constantes e valores:
Calcular termos intermediários:
-
. -
. -
-
- Somando o numerador:
- Denominador:
Finalmente:
Em unidades mais amigáveis:
Passo 6
Parte (b): se
e pela parte (a) escolhemos
de modo que
, então
Explicação curta: conhecimento direto de diferença de potencial — não é preciso recalcular todos os termos.
Passo 7
Parte (c): trabalho necessário para levar uma carga puntual
de
até
.
- Energia potencial elétrica de uma carga
num ponto de potencial é . A variação de energia ao mover de a é
- Aqui interpretamos “trabalho necessário” como trabalho realizado pelo agente que move a carga contra o campo (trabalho externo), que é exatamente
.
Substituindo
e
:
Passo 8
Parte (d): trabalho para levar
de
até
.
Passos: calcular
(linha + ponto) e multiplicar por
.
- Contribuição da linha:
Usando
e
:
Calculei
(unidade de potencial), então
- Contribuição da carga pontual
(usar valor de da parte (a)):
Com
,
,
,
:
- Soma das contribuições:
- Trabalho externo:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)