Uma linha infinita de carga, \rho_{\mathrm{L}}=(15+4) \mathrm{nC} / \mathrm{m}, se estende, no vácuo, ao longo do eixo z , e uma carga pontual Q se localiza no ponto (2,3,6). Considerar todas as coordenadas em metros. Calcular:
(a) a carga Q de forma que a diferença de potencial \left(\mathrm{V}_{\mathrm{A}}-\mathrm{V}_{\mathrm{B}}\right) entre os pontos \mathrm{A}(4,3,5) e \mathrm{B}(2,0,5) seja de (10+3) V;
(b) o potencial do ponto \mathrm{A}(4,3,5) caso o potencial no ponto \mathrm{B}(2,0,5) seja de (10+3) \mathrm{V};
(c) o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 1,5 \mathrm{nC} de \mathrm{B}(2,0,5) até \mathrm{A}(4,3,5);
(d) o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 1,5 \mathrm{nC} de \mathrm{C}(2,2,-5) até \mathrm{A}(4,3,5).
Obs.: Não considerar a influência da carga \boldsymbol{q} no campo das outras cargas.

Passo 1

O enunciado dá uma linha infinita de carga ao longo do eixo z com densidade linear \rho_{\mathrm{L}}=(15+4)\\ \mathrm{nC/m} e uma carga pontual Q em (2,3,6). Pede:
  • (a) determinar Q de modo que a diferença de potencial \left(V_{A}-V_{B}\right) entre A(4,3,5) e B(2,0,5) seja (10+3)\\ \mathrm{V};
  • (b) o potencial em A se o potencial em B for (10+3)\\ \mathrm{V};
  • (c) o trabalho para levar uma carga puntual q=1{,}5\\ \mathrm{nC} de B a A;
  • (d) o trabalho para levar q=1{,}5\\ \mathrm{nC} de C(2,2,-5) a A.
Informações relevantes extraídas do enunciado (calculei as somas indicadas):
\lambda=\rho_{\mathrm{L}}=(15+4)\\ \mathrm{nC/m}=19\\ \mathrm{nC/m}=19\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},
\Delta V_{A-B}=(10+3)\\ \mathrm{V}=13\\ \mathrm{V}.
Coordenadas (em m): A(4,3,5), B(2,0,5), C(2,2,-5), carga Q em P_Q(2,3,6). A constante \varepsilon_0=8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e 1/(4\pi\varepsilon_0)=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas dos potenciais (aula rápida e intuitiva).
  • Potencial de uma linha infinita de densidade \lambda a uma distância radial r do eixo z: a forma que interessa é a diferença de potencial entre dois raios, pois o potencial absoluto de uma linha infinita não tem um zero em infinito. A diferença entre pontos com distâncias radiais r_1 e r_2 é
V_{\text{linha}}(r_1)-V_{\text{linha}}(r_2)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Explicação: a densidade linear \lambda cria campo radial E_r=\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r). Integrando E em r dá a expressão logarítmica.
  • Potencial de uma carga pontual Q em P_Q no ponto \mathbf{r}:
V_{\text{p}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_Q|}.
Diferença entre dois pontos a e b devido a Q:
V_{\text{p}}(a)-V_{\text{p}}(b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{d_a}-\frac{1}{d_b}\right),
onde d_a=|\mathbf{r}_a-\mathbf{r}_Q| e d_b=|\mathbf{r}_b-\mathbf{r}_Q|.
A diferença total de potencial entre A e B é soma das duas contribuições (linha + ponto).

Passo 3

Calcular distâncias radiais ao eixo z e distâncias da carga Q aos pontos.
  • Distâncias radiais (usei coordenadas do enunciado):
r_A=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,
r_B=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2,
r_C=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2{,}828427125\ldots
  • Distâncias da carga pontual Q em P_Q(2,3,6):
d_A=|\,(4,3,5)-(2,3,6)\,|=\sqrt{(4-2)^2+(3-3)^2+(5-6)^2}=\sqrt{2^2+0+(-1)^2}=\sqrt{5}\approx2{,}236067978,
d_B=|\,(2,0,5)-(2,3,6)\,|=\sqrt{0^2+(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\approx3{,}162277660,
d_C=|\,(2,2,-5)-(2,3,6)\,|=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-11)^2}=\sqrt{122}\approx11{,}045361017.

Passo 4

Escrever a equação para \Delta V_{A-B}=V_A-V_B e isolar Q.
Contribuição da linha:
\left(V_A-V_B\right)_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_B}{r_A}\right).
Contribuição da carga pontual:
\left(V_A-V_B\right)_{\text{p}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{d_A}-\frac{1}{d_B}\right).
Somando e impondo \Delta V_{A-B}=13\\ \mathrm{V}:
13=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_B}{r_A}\right)+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{d_A}-\frac{1}{d_B}\right).
Isolando Q:
Q=\frac{4\pi\varepsilon_0\cdot 13 - 2\lambda\ln\!\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)}{\dfrac{1}{d_A}-\dfrac{1}{d_B}}.
Observação: multipliquei toda a equação por 4\pi\varepsilon_0 e reagrupuei. Esta fórmula é direta para calcular Q.

Passo 5

Agora fazemos as substituições numéricas (mostrar contas para a prova).
Constantes e valores:
\varepsilon_0=8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\quad \lambda=19\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},
r_A=5,\quad r_B=2,\quad d_A=\sqrt{5},\quad d_B=\sqrt{10}.
Calcular termos intermediários:
  • 4\pi\varepsilon_0 = 4\pi(8{,}8541878128\times10^{-12})\approx 1{,}112650056\times10^{-10}.
  • 4\pi\varepsilon_0\cdot13 \approx 1{,}112650056\times10^{-10}\times13 \approx 1{,}446445073\times10^{-9}.
  • \ln\!\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)=\ln\!\left(\dfrac{2}{5}\right)=\ln(0{,}4)\approx -0{,}9162907319.
  • -2\lambda\ln\!\left(\dfrac{r_B}{r_A}\right)=-2(19\times10^{-9})(-0{,}9162907319)\approx 3{,}481904781\times10^{-8}.
  • Somando o numerador:
4\pi\varepsilon_0\cdot13 - 2\lambda\ln\!\left(\frac{r_B}{r_A}\right)\approx 1{,}446445073\times10^{-9}+3{,}481904781\times10^{-8} \approx 3{,}626549288\times10^{-8}.
  • Denominador:
\frac{1}{d_A}-\frac{1}{d_B}=\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}4472135955-0{,}3162277660\approx0{,}1309858295.
Finalmente:
Q\approx\frac{3{,}626549288\times10^{-8}}{0{,}1309858295}\approx2{,}770098\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Em unidades mais amigáveis: Q\approx2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{C}=277{,}0\\ \mathrm{nC}.

Passo 6

Parte (b): se V_B=13\\ \mathrm{V} e pela parte (a) escolhemos Q de modo que V_A-V_B=13\\ \mathrm{V}, então
V_A=V_B+(V_A-V_B)=13+13=26\\ \mathrm{V}.
Explicação curta: conhecimento direto de diferença de potencial — não é preciso recalcular todos os termos.

Passo 7

Parte (c): trabalho necessário para levar uma carga puntual q de B até A.
  • Energia potencial elétrica de uma carga q num ponto de potencial V é U=qV. A variação de energia ao mover de B a A é
\Delta U=q\left(V_A-V_B\right).
  • Aqui interpretamos “trabalho necessário” como trabalho realizado pelo agente que move a carga contra o campo (trabalho externo), que é exatamente \Delta U.
Substituindo q=1{,}5\\ \mathrm{nC}=1{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e V_A-V_B=13\\ \mathrm{V}:
W_{B\to A}=1{,}5\times10^{-9}\times13=1{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{J}=19{,}5\\ \mathrm{nJ}.

Passo 8

Parte (d): trabalho para levar q=1{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C} de C(2,2,-5) até A(4,3,5).
Passos: calcular V_A-V_C (linha + ponto) e multiplicar por q.
  • Contribuição da linha:
\left(V_A-V_C\right)_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{r_C}{r_A}\right).
Usando r_C=\sqrt{8} e r_A=5:
\ln\!\left(\frac{r_C}{r_A}\right)=\ln\!\left(\frac{\sqrt{8}}{5}\right)=\ln(0{,}5656854249)\approx -0{,}5686159179.
Calculei \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\approx 341{,}626\\ \mathrm{V} (unidade de potencial), então
\left(V_A-V_C\right)_{\text{linha}}\approx 341{,}626\times(-0{,}5686159179)\approx -194{,}23\\ \mathrm{V}.
  • Contribuição da carga pontual Q (usar valor de Q da parte (a)):
\left(V_A-V_C\right)_{\text{p}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,Q\left(\frac{1}{d_A}-\frac{1}{d_C}\right).
Com Q\approx2{,}770098\times10^{-7}\\ \mathrm{C}, 1/(4\pi\varepsilon_0)\approx8{,}9875517923\times10^9, 1/d_A\approx0{,}4472135955, 1/d_C\approx1/\sqrt{122}\approx0{,}090535734:
\left(V_A-V_C\right)_{\text{p}}\approx (8{,}9875517923\times10^9)(2{,}770098\times10^{-7})(0{,}4472135955-0{,}090535734) \approx 888{,}13\\ \mathrm{V}.
  • Soma das contribuições:
V_A-V_C\approx -194{,}23+888{,}13\approx 693{,}90\\ \mathrm{V}.
  • Trabalho externo:
W_{C\to A}=q\left(V_A-V_C\right)=1{,}5\times10^{-9}\times693{,}90\approx1{,}04085\times10^{-6}\\ \mathrm{J}\approx1{,}04\\ \mu\mathrm{J}.

Resposta

(a) Q\approx2{,}77\times10^{-7}\\ \mathrm{C}=277{,}0\\ \mathrm{nC}.
(b) V_A=26\\ \mathrm{V}.
(c) W_{B\to A}=1{,}95\times10^{-8}\\ \mathrm{J}=19{,}5\\ \mathrm{nJ}.
(d) W_{C\to A}\approx1{,}04\times10^{-6}\\ \mathrm{J}=1{,}04\\ \mu\mathrm{J}.

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