O potencial elétrico numa placa é dado pela expressão
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(ii) Encontre a taxa de variação do potencial ao longo da curva
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(ii) Encontre a taxa de variação do potencial ao longo da curva
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função que representa o potencial elétrico em uma placa: $ V(x, y) = e^{-2x} \cos(2y) $. A questão quer que a gente encontre a taxa de variação desse potencial ao longo de uma curva específica, definida pelas equações paramétricas $ x(t) = \frac{t}{2} $ e $ y(t) = \frac{t^{2}}{2} $.
Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e taxas de variação ao longo de curvas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a taxa de variação de uma função $ V(x, y) $ em relação a uma variável $ t $ ao longo de uma curva paramétrica $ x(t) $ e $ y(t) $. A fórmula que usamos é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $, e também as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ V $.
Primeiro, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
Isso porque a derivada de $ e^{-2x} $ em relação a $ x $ é $ -2e^{-2x} $, e $ \cos(2y) $ é tratado como uma constante em relação a $ x $.
Agora, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
Aqui, usamos que a derivada de $ \cos(2y) $ em relação a $ y $ é $ -2\sin(2y) $, e $ e^{-2x} $ é constante em relação a $ y $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Para $ x(t) = \frac{t}{2} $:
Para $ y(t) = \frac{t^{2}}{2} $:
Passo 5
Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da taxa de variação:
Simplificando o primeiro termo:
Então:
Passo 6
Agora, como temos $ x(t) = \frac{t}{2} $ e $ y(t) = \frac{t^{2}}{2} $, podemos substituir esses valores na expressão acima para obter a taxa de variação em termos de $ t $:
Simplificando os expoentes e os argumentos das funções trigonométricas:
Resposta
A taxa de variação do potencial ao longo da curva é dada por: