O potencial elétrico no plano xy é dado por V=2 x^2-3 y^2, em unidades SI. Em termos de vetores unitários, determine o campo elétrico no ponto dado pelas coordenadas x=2,0 m e y =3,0 m.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um potencial elétrico no plano xy dado por
V(x,y) = 2x^2 ;-; 3y^2
O que a questão pede é o campo elétrico nesse ponto E = -,nabla V .
Matéria envolvida: eletrostática—especificamente a relação entre potencial elétrico e campo elétrico .
O que precisamos: saber que
e então calcular derivadas parciais de .

Passo 2

Teoria básica:
  1. O operador gradiente em coordenadas cartesianas é
nabla V = partial Vpartial x,hatimath ;+; partial Vpartial y,hatjmath ;+;partial Vpartial z,hat k
  1. O campo elétrico é sempre o negativo desse gradiente:
E = -nabla V

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de partialpartial xl(2x^2 - 3y^2r) = 4x .
  • Para partialpartial yl(2x^2 - 3y^2r) = -6y , tratamos nabla V = 4x,hatimath ;-;6y,hatjmath ;+;0,hat k como constante:
  • Para , tratamos como constante:
  • Como não depende de , .
Então

Passo 4

Aplicando E(x,y) = -l(4x,hatimath - 6y,hatjmathr) = -4x,hatimath ;+;6y,hatjmath , a gente tem
Ex = -4 times 2 = -8, Ey = 6 times 3 = 18
Agora é só botar e :
Tudo em volts por metro (V/m).

Resposta

boxedE(2,3) = -8,hatimath ;+; 18,hatjmathl[V/mr]

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