O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V(x, y, z)=ln raizx^2+y^2+z^2, sendo V em volts, x, y, z em cm.
Determine a derivada direcional de V na direção do vetor v=3 i+4 j+12 k no ponto A=(0,5,12).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde o potencial elétrico em uma região do espaço é dado por $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $, com $ V $ em volts e $ x, y, z $ em centímetros. A tarefa é determinar a derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 12\vec{k} $ no ponto $ A = (0, 5, 12) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação de uma função $ V $ em uma certa direção indicada por um vetor $ \vec{v} $. Para calcular isso, usamos o gradiente da função $ V $ e fazemos o produto escalar com a direção desejada.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de $ V $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função $ V $ em relação a cada variável. Ou seja:
V

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a $ x $:
x
  1. Derivada em relação a $ y $:
partial Vpartial x = 1raizx^2 + y^2 + z^2 cdot 12 cdot 2xraizx^2 + y^2 + z^2 = xx^2 + y^2 + z^2
  1. Derivada em relação a $ z $:
y
Então, o gradiente fica:
partial Vpartial y = yx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ A = (0, 5, 12) $:
A = (0, 5, 12)

Passo 6

Em seguida, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 12\vec{k} $ para obter a direção. A magnitude de $ \vec{v} $ é:
v = 3i + 4j + 12k
Então, o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $ é:
v

Passo 7

Agora, a derivada direcional de $ V $ na direção de $ \vec{v} $ no ponto $ A $ é o produto escalar do gradiente de $ V $ em $ A $ com o vetor unitário $ \hat{v} $:
V
Calculando o produto escalar:
v

Resposta

A derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \vec{v} $ no ponto $ A = (0, 5, 12) $ é $ \frac{164}{2197} $ volts por centímetro.

Exercícios relacionados