O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, sendo
em volts,
em cm.
Determine a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
.
Determine a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde o potencial elétrico em uma região do espaço é dado por $ V(x, y, z) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $, com $ V $ em volts e $ x, y, z $ em centímetros. A tarefa é determinar a derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 12\vec{k} $ no ponto $ A = (0, 5, 12) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação de uma função $ V $ em uma certa direção indicada por um vetor $ \vec{v} $. Para calcular isso, usamos o gradiente da função $ V $ e fazemos o produto escalar com a direção desejada.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de $ V $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função $ V $ em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a $ x $:
- Derivada em relação a $ y $:
- Derivada em relação a $ z $:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ A = (0, 5, 12) $:
Passo 6
Em seguida, precisamos normalizar o vetor $ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 12\vec{k} $ para obter a direção. A magnitude de $ \vec{v} $ é:
Então, o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $ é:
Passo 7
Agora, a derivada direcional de $ V $ na direção de $ \vec{v} $ no ponto $ A $ é o produto escalar do gradiente de $ V $ em $ A $ com o vetor unitário $ \hat{v} $:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de $ V $ na direção do vetor $ \vec{v} $ no ponto $ A = (0, 5, 12) $ é $ \frac{164}{2197} $ volts por centímetro.