O potencial elétrico em uma região do espaço varia conforme a função \mathrm{V}(\mathrm{x})=400-800 \mathrm{x}, onde V está em volts e x em metros. Determine:
a) O módulo do campo elétrico na direção x ;
b) A direção e sentido do campo elétrico;
c) A diferença de potencial entre os pontos \mathrm{x}_{1}=0,1 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{x}_{2}=0,4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a função do potencial elétrico em função de x:
V(x)=400-800\,x,
com V em volts e x em metros. Os pedidos são:
  • (a) determinar o módulo do campo elétrico na direção x;
  • (b) indicar a direção e o sentido do campo elétrico;
  • (c) calcular a diferença de potencial entre os pontos x_{1}=0,1\\ \text{m} e x_{2}=0,4\\ \text{m}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e direta): em eletrostática o campo elétrico \mathbf{E} está relacionado ao potencial elétrico V pela relação do gradiente com sinal negativo. Em uma dimensão (apenas variação ao longo do eixo x) isso vira:
E_x = -\frac{dV}{dx},
onde:
  • \,E_x é a componente do campo elétrico na direção x (unidade \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C});
  • \,V(x) é o potencial em volts;
  • \,x é a posição em metros;
  • o sinal negativo diz que o campo aponta para a direção em que o potencial diminui.
Explicando em miúdos: se V cai quando x aumenta, a derivada dV/dx é negativa e, por isso, E_x fica positiva — ou seja, o campo aponta no sentido positivo de x. Se V sobe com x, o campo aponta no sentido negativo de x.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dV}{dx} da função dada. V(x) é uma função linear, então:
\frac{dV}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(400-800x\bigr)=0-800=-800\\ \mathrm{V/m}.
Aqui mostro cada termo: a constante 400 tem derivada zero; o termo -800x tem derivada -800.

Passo 4

Aplicar a fórmula \,E_x = -\dfrac{dV}{dx}. Substituindo o resultado do passo anterior:
E_x = -\bigl(-800\bigr)=800\\ \mathrm{V/m}.
O módulo do campo elétrico na direção x é o valor absoluto de E_x, que é |800|=800\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Interpretação da direção e do sentido (aula conceitual curta): como \,E_x=+800\\ \mathrm{V/m} é positivo, o vetor campo aponta no sentido do eixo x positivo. Em notação vetorial unidimensional:
\mathbf{E}=800\,\hat{\imath}\\ \mathrm{V/m},
onde \hat{\imath} é o versor na direção +x. Em palavras: direção ao longo de x e sentido para +\!x.

Passo 6

Calcular a diferença de potencial entre x_{1}=0,1\\ \text{m} e x_{2}=0,4\\ \text{m}. Primeiro avalio V em cada ponto:
V(x_{1})=V(0,1)=400-800\cdot0,1=400-80=320\\ \mathrm{V},
V(x_{2})=V(0,4)=400-800\cdot0,4=400-320=80\\ \mathrm{V}.
A diferença de potencial usualmente definida como \Delta V=V(x_{2})-V(x_{1}) é:
\Delta V=80-320=-240\\ \mathrm{V}.
Verificação via integral (consistência com campo): como \Delta V=-\int_{x_{1}}^{x_{2}} E_x\,dx e E_x é constante,
\Delta V=-E_x\,(x_{2}-x_{1})=-800\cdot(0,4-0,1)=-800\cdot0,3=-240\\ \mathrm{V},
mesmo resultado. O sinal negativo indica que o potencial diminuiu em 240\\ \mathrm{V} ao ir de x_{1} para x_{2}.

Passo 7

Dica rápida para prova (motivação): lembre que o campo é o negativo da inclinação do gráfico V(x). Para uma reta V(x)=a+bx, tem sempre E_x=-b. Aqui b=-800, então E_x=800. Você está indo bem — foco nas fórmulas e prática com funções lineares que aparecem muito em prova.

Resposta

a) 800\\ \mathrm{V/m}
b) Direção: eixo x; sentido: para +\!x (campo apontando no sentido positivo de x).
c) \Delta V=V(x_{2})-V(x_{1})=-240\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados