Um capacitor de placas paralelas possui área de placa \mathrm{A}=0,02 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e} distância entre as placas \mathrm{d}=2 \mathrm{~mm}. O capacitor está carregado com uma carga \mathrm{Q}=8,85 \times 10^{-9} \mathrm{C}. Determine:
Dado: \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}
a) A capacitância do capacitor;
b) A diferença de potencial entre as placas;
c) A energia armazenada no capacitor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Área das placas: A=0,02\\ \mathrm{m}^2.
  • Separação entre as placas: d=2\\ \mathrm{mm}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Carga armazenada: Q=8,85\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Permissividade do vácuo: \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
O enunciado pede:
a) A capacitância do capacitor ( C).
b) A diferença de potencial entre as placas ( \Delta V ou V).
c) A energia armazenada no capacitor ( U).

Passo 2

Encontrar a capacitância de um capacitor de placas paralelas.
Fórmula básica (para placas paralelas, vácuo entre elas):
C=\frac{\varepsilon_{0}\,A}{d}.
Explicando a fórmula:
  • C é a capacitância, medida em farads ( \mathrm{F}).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \mathrm{F/m}).
  • A é a área da placa em \mathrm{m}^2.
  • d é a distância entre as placas em \mathrm{m}.
Agora substituindo os valores (faça a conversão de milímetros para metros primeiro, já feita no Passo 1):
C=\frac{(8,85\times10^{-12})\cdot(0,02)}{2\times10^{-3}}.
Calcule passo a passo:
(8,85\times10^{-12})\cdot(0,02)=1,77\times10^{-13},
\frac{1,77\times10^{-13}}{2\times10^{-3}}=\frac{1,77}{2}\times10^{-13+3}=0,885\times10^{-10}=8,85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Portanto,
C=8,85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

Calcular a diferença de potencial entre as placas usando a relação entre carga, capacitância e tensão.
Fórmula:
Q=C\,V.
Isolando V:
V=\frac{Q}{C}.
Explicando:
  • Q é a carga em coulombs ( \mathrm{C}).
  • C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}).
  • V é a diferença de potencial em volts ( \mathrm{V}).
Substituindo Q=8,85\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e C=8,85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}:
V=\frac{8,85\times10^{-9}}{8,85\times10^{-11}}.
Ao dividir, os fatores 8,85 cancelam e os expoentes dão 10^{-9-(-11)}=10^{2}. Logo
V=10^{2}=100\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a energia armazenada no capacitor.
Dupla maneira comum (ambas equivalentes):
U=\frac{1}{2}C V^{2}
ou
U=\frac{Q^{2}}{2C}.
Explicando: U é a energia em joules ( \mathrm{J}). As duas fórmulas são obtidas integrando o trabalho necessário para carregar o capacitor; ambas dão o mesmo resultado.
Usarei \displaystyle U=\frac{1}{2}C V^{2} com os valores que já temos ( C e V):
U=\frac{1}{2}\cdot(8,85\times10^{-11})\cdot(100)^{2}.
Calcule passo a passo:
(100)^{2}=10\,000=10^{4},
(8,85\times10^{-11})\cdot10^{4}=8,85\times10^{-7},
\frac{1}{2}\cdot8,85\times10^{-7}=4,425\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
U\approx4,43\times10^{-7}\\ \mathrm{J}.
Como verificação rápida, usar U=\dfrac{Q^{2}}{2C} deve dar o mesmo valor (pode conferir na prova se quiser).

Passo 5

Checagem de unidades e ordem de grandeza (dica prática para a prova):
  • Capacitância: unidades \mathrm{F}=\mathrm{C}/\mathrm{V}. Ao calcular C pela fórmula de placas paralelas, as unidades ficam \mathrm{F/m}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{m}=\mathrm{F} — consistente.
  • Tensão: unidade \mathrm{V}=\mathrm{C}/\mathrm{F} — consistente na operação V=Q/C.
  • Energia: unidade \mathrm{J}=\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}^2 ou \mathrm{C}^2/\mathrm{F} — consistente com as fórmulas usadas.
Boa notícia: os números ficaram “bonitos” (tensão exatamente 100\\ \mathrm{V}), então é fácil conferir durante a prova.

Resposta

(a) C=8,85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}
(b) V=100\\ \mathrm{V}
(c) U=4,43\times10^{-7}\\ \mathrm{J}

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