Um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} é carregado com uma diferença de potencial de 50 V . Calcule a energia armazenada. Em seguida, mantendo a carga constante, dobra-se a distância entre as placas (desconectando a bateria antes). Qual é a nova energia armazenada?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de \,10\\ \mu\mathrm{F}\, carregado com uma diferença de potencial de \,50\\ \mathrm{V}\,. Depois a bateria é desconectada (logo a carga permanece constante) e a distância entre as placas é dobrada. O que se pede:
  • Calcular a energia armazenada inicialmente.
  • Calcular a nova energia armazenada após dobrar a distância entre as placas, com a carga mantida constante.
Dados fornecidos:
  • Capacitância inicial: C=10\\ \mu\mathrm{F}.
  • Tensão inicial: V=50\\ \mathrm{V}.
  • A bateria é desconectada antes de mover as placas (portanto Q permanece constante).
  • A distância entre as placas é dobrada (para capacitores de placas paralelas isso implica mudança na capacitância).

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicadas):
  • A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes:
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}=\tfrac{Q^{2}}{2C}=\tfrac{1}{2} Q V,
onde:
  • U é a energia em joules;
  • C é a capacitância em farads;
  • V é a diferença de potencial em volts;
  • Q é a carga armazenada em coulombs.
    Explicação rápida: essas fórmulas são equivalentes porque Q=C V. Substituindo Q em qualquer delas obtém-se as outras.
  • Para um capacitor de placas paralelas:
C=\frac{\varepsilon_{0} A}{d},
onde A é a área das placas, d é a distância entre elas e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Assim, duplicar d faz C cair pela metade (se A e \varepsilon_{0} permanecem constantes).
  • Como a bateria foi desconectada antes de alterar d, a carga Q permanece constante. Isso é crucial: Q constante implica que, se C diminui, a tensão V deve aumentar segundo V=Q/C.

Passo 3

Converter unidades e calcular a energia inicial usando \,U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Primeiro converter \mu\mathrm{F} para \mathrm{F}:
C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Agora calcular \,U_{i}=\tfrac{1}{2} C V^{2}:
U_{i}=\tfrac{1}{2}\cdot 10^{-5}\cdot 50^{2}.
Calcule passo a passo:
50^{2}=2500,
10^{-5}\cdot 2500 = 2500\times10^{-5}=25\times10^{-3}=0,025,
U_{i}=\tfrac{1}{2}\cdot 0,025=0,0125\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia inicial é \,U_{i}=0,0125\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a carga inicial Q (pois vamos precisar dela quando a bateria estiver desconectada). Usar Q=C V:
Q=C V=10^{-5}\cdot 50=50\times10^{-5}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Logo \,Q=5\cdot10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a nova capacitância após dobrar a distância entre as placas.
Pelo modelo de placas paralelas:
C=\frac{\varepsilon_{0} A}{d}.
Se d é dobrado para 2d, a nova capacitância C' é
C'=\frac{\varepsilon_{0} A}{2d}=\frac{1}{2}\,\frac{\varepsilon_{0} A}{d}=\frac{C}{2}.
Então numericamente:
C'=\frac{C}{2}=\frac{10^{-5}}{2}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=5\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 6

Com Q constante, calcular a nova tensão V' usando V'=Q/C'.
Sabendo que C'=C/2, tem-se
V'=\frac{Q}{C'}=\frac{Q}{C/2}=2\frac{Q}{C}=2V.
Portanto a tensão dobra. Numericamente:
V'=2\cdot 50=100\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Calcular a nova energia U'. Podemos usar qualquer forma; uso \,U'=\tfrac{Q^{2}}{2C'} para manter Q explícito.
Sabendo que C'=C/2, veja a relação entre U' e U_{i}:
U'=\frac{Q^{2}}{2C'}=\frac{Q^{2}}{2(C/2)}=\frac{Q^{2}}{C}=2\cdot\frac{Q^{2}}{2C}=2U_{i}.
Ou usando outras manipulações:
U'=\tfrac{1}{2}C'V'^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{C}{2}\cdot(2V)^{2}=\tfrac{1}{2}C V^{2}\cdot 2=2U_{i}.
Assim a energia dobra. Numericamente:
U'=2\cdot 0,0125=0,025\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Interpretação física final (rápida e motivadora): a energia armazenada aumentou porque, ao afastar as placas com carga fixa, foi necessário fazer trabalho contra a atração elétrica entre as placas; esse trabalho é convertido em energia elétrica armazenada no capacitor. Então não se assuste: energia não apareceu do nada — ela veio do trabalho realizado ao separar as placas.
Força exercida e detalhes podem ser calculados se quiseres, mas não são pedidos aqui. Boa: você já entendeu o raciocínio e como aplicar as fórmulas em prova!

Resposta

Energia inicial: 0,0125\\ \mathrm{J}
Nova energia (após dobrar a distância): 0,025\\ \mathrm{J}

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