(Sears 38.12) Os tubos de raios catódicos que geravam a imagem nas primeiras TVs em cores eram fontes de raios X . Se a voltagem aceleradora de um tubo de TV é cerca de 15,0 \mathrm{kV}, qual é o menos comprimento de onda (em nm ) dos raios X que essa TV pode produzir?

Passo 1

O enunciado pede o menor comprimento de onda (em nm) dos raios X que um tubo de TV pode produzir quando a voltagem aceleradora é 15,0\\ \mathrm{kV}.
Informações dadas:
V = 15,0\\ \mathrm{kV} = 1,50\times10^{4}\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): um elétron acelerado por uma diferença de potencial V ganha energia cinética igual a eV, onde e é a carga elementar. Se todo essa energia for convertida numa única fóton (o caso que dá o menor comprimento de onda possível), então a energia do fóton é
E_{\text{fóton}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.ó
Igualando as energias:
h\nu = eV \quad\Longrightarrow\quad \frac{hc}{\lambda_{\min}} = eV.
Isolando o comprimento de onda mínimo:
\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}.
Aqui:
  • h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s}),
  • c é a velocidade da luz (unidade: \mathrm{m/s}),
  • e é a carga elementar (unidade: \mathrm{C} ou \mathrm{J/V}),
  • V é a voltagem (unidade: \mathrm{V}),
  • \lambda_{\min} sairá em metros; depois convertemos para nanômetros.

Passo 3

Cálculo direto usando constantes SI (método completo, para entender unidades). Valores:
h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
V = 1,50\times10^{4}\\ \mathrm{V}.
Calcule hc:
hc = (6,62607015\times10^{-34})(2,99792458\times10^{8})=1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Calcule eV (energia do elétron em joules):
eV = (1,602176634\times10^{-19})(1,50\times10^{4})=2,403264951\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Agora
\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}=\frac{1,98644586\times10^{-25}}{2,403264951\times10^{-15}}=8,26802\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda_{\min}=8,26802\times10^{-11}\times10^{9}=0,0826802\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com base em três algarismos significativos (a voltagem 15,0\\ \mathrm{kV} tem três algarismos significativos):
\lambda_{\min}\approx0,0827\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo rápido (método prático para prova): é comum lembrar o produto hc expresso em \mathrm{eV\cdot nm}:
hc\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Como a energia do elétron em eV é numericamente igual à voltagem em volts (ou V em kV ×1000), temos
\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{1,50\times10^{4}\\ \mathrm{eV}}=\frac{1240}{15000}\\ \mathrm{nm}=0,082666\ldots\\ \mathrm{nm},
que novamente dá, arredondando,
\lambda_{\min}\approx0,0827\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Interpretação rápida: esse valor está na faixa de raios X (tipicamente décimos de nm), então faz sentido físico — tubos de CRT em TV realmente podem emitir raios X com comprimentos de onda da ordem de 10^{-1} a 10^{-2}\\ \mathrm{nm}.

Resposta

0,0827\\ \mathrm{nm}

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