O potencial elétrico V em um ponto genérico P=(x, y) num sistema de coordenadas retangulares é dado pela expressão V=V(x, y)=\cos \left(\frac{x}{y}\right)-2 \cdot e^{x^{2} \cdot y}. Determine:
a) a derivada direcional (taxa de variação instantânea) no ponto P=(2,-1) considerando a direção segundo o vetor \vec{v}=(\sqrt{3}, 1) ;
b) a derivada direcional máxima;
c) o vetor unitário que produz a derivada direcional máxima;
d) o ângulo ( \alpha ) que o vetor gradiente faz com o eixo horizontal;
e) o ângulo ( \varphi ) formado pelos vetores unitário e gradiente;
f) a representação num plano cartesiano dos vetores referenciados acima.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico em função de x,y:
V(x,y)=\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)-2\,e^{x^{2}y}.
Ponto e direção fornecidos:
  • ponto P=(2,-1);
  • vetor direção \vec{v}=(\sqrt{3},1).
O que se pede:
a) a derivada direcional de V em P na direção de \vec{v};
b) a derivada direcional máxima naquele ponto;
c) o vetor unitário que produz essa derivada direcional máxima;
d) o ângulo \alpha que o vetor gradiente faz com o eixo horizontal;
e) o ângulo \varphi formado entre o vetor unitário (da letra a) e o gradiente;
f) como representar graficamente os vetores citados no plano cartesiano (coordenadas para desenhar).

Passo 2

Explicando os conceitos que usarei (com calma):
  • A derivada direcional de uma função V(x,y) na direção do vetor unitário \mathbf{u} em um ponto P é o produto escalar do gradiente com \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}V(P)=\nabla V(P)\cdot \mathbf{u}.
Isto significa: primeiro encontra-se o vetor gradiente \nabla V=(V_x,V_y) (as derivadas parciais), depois projeta-se esse gradiente sobre a direção unitária \mathbf{u}.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V(x,y)=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y}\right).
  • A maior taxa de variação instantânea (derivada direcional máxima) em um ponto é o módulo do gradiente:
\max_{\|\mathbf{u}\|=1} D_{\mathbf{u}}V(P)=\|\nabla V(P)\|.
  • O vetor unitário que produz essa máxima variação é o gradiente normalizado:
\mathbf{u}_{\max}=\frac{\nabla V(P)}{\|\nabla V(P)\|}.
  • O ângulo \alpha entre o gradiente e o eixo x pode ser obtido por
\alpha=\operatorname{atan2}\big(V_y(P),V_x(P)\big),
que dá o ângulo correto considerando o quadrante.
  • O ângulo \varphi entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} pode ser obtido pela fórmula com cosseno:
\cos\varphi=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}.
Vou aplicar tudo isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V (usando regra da cadeia e produto quando necessário).
Primeiro escrevo u=\dfrac{x}{y} e w=x^{2}y. Então
V(x,y)=\cos(u)-2e^{w}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x} = -\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{y}\right) -2e^{x^{2}y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!(x^{2}y).
Agora as derivadas internas:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!(x^{2}y)=2xy.
Logo
\boxed{\,V_x(x,y)=-\frac{1}{y}\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)-4x y\,e^{x^{2}y}\,}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y} = -\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{y}\right) -2e^{x^{2}y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!(x^{2}y).
As derivadas internas:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{y}\right)=-\frac{x}{y^{2}},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!(x^{2}y)=x^{2}.
Portanto
\boxed{\,V_y(x,y)=\frac{x}{y^{2}}\sin\!\left(\frac{x}{y}\right)-2x^{2}e^{x^{2}y}\,}.

Passo 4

Avalio \nabla V em P=(2,-1). Primeiro calculos auxiliares:
\frac{x}{y}=\frac{2}{-1}=-2,\qquad x^{2}y=4\cdot(-1)=-4.
Logo \sin\!\left(\frac{x}{y}\right)=\sin(-2)=-\sin(2) e e^{x^{2}y}=e^{-4}.
Agora calculo V_x(2,-1):
V_x(2,-1)=-\frac{1}{-1}\sin(-2)-4\cdot 2\cdot(-1)\,e^{-4}.
Simplificando passo a passo:
-\frac{1}{-1}\sin(-2)= -(-1)\cdot(-\sin 2) = -\sin 2,
e
-4\cdot 2\cdot(-1)\,e^{-4}=8e^{-4}.
Portanto
\boxed{\,V_x(2,-1)=-\sin 2 + 8e^{-4}\,}.
Agora V_y(2,-1):
V_y(2,-1)=\frac{2}{(-1)^{2}}\sin(-2)-2\cdot 4\,e^{-4}.
\frac{2}{1}\sin(-2)=2(-\sin 2)=-2\sin 2, \qquad -2\cdot 4\,e^{-4}=-8e^{-4}.
Portanto
\boxed{\,V_y(2,-1)=-2\sin 2 - 8e^{-4}\,}.
Posso deixar o gradiente na forma exata em termos de \sin 2 e e^{-4}:
\boxed{\,\nabla V(2,-1)=\big(-\sin 2 + 8e^{-4},\; -2\sin 2 - 8e^{-4}\big)\,}.
Para usar numericamente (aproximações úteis; assumindo radianos):
\sin 2\approx 0,9092974268,\qquad e^{-4}\approx 0,0183156389.
Substituindo:
V_x(2,-1)\approx -0,7627723157,\qquad V_y(2,-1)\approx -1,9651199648.

Passo 5

Calcular o vetor unitário na direção de \vec{v}=(\sqrt{3},1) (este é o \mathbf{u} que aparece na letra a).
Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=2.
Logo o vetor unitário associado é
\boxed{\,\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{2}\right)\,}
com valores numéricos aproximados
\mathbf{u}\approx(0,8660254,\;0,5).

Passo 6

a) Derivada direcional em P na direção de \vec{v}: é D_{\mathbf{u}}V(P)=\nabla V(P)\cdot\mathbf{u}.
Produto escalar (faço symbolicamente primeiro):
D_{\mathbf{u}}V(2,-1)=\left(-\sin 2 + 8e^{-4}\right)\frac{\sqrt{3}}{2} +\left(-2\sin 2 - 8e^{-4}\right)\frac{1}{2}.
Colocando em uma forma combinada:
D_{\mathbf{u}}V(2,-1)=\frac{1}{2}\Big[-(\sqrt{3}+2)\sin 2 + 8(\sqrt{3}-1)e^{-4}\Big].
Numericamente, usando as aproximações acima:
\boxed{\,D_{\mathbf{u}}V(2,-1)\approx -1{,}64315\,.}
(Interpretação rápida: o valor negativo indica que, movendo-se na direção de \vec{v} a partir de P, o potencial diminui instantaneamente — a taxa de diminuição é aproximadamente 1{,}643 unidades por unidade de comprimento nessa direção.)

Passo 7

b) Derivada direcional máxima: é o módulo do gradiente em P:
\|\nabla V(2,-1)\|=\sqrt{\big(V_x(2,-1)\big)^{2}+\big(V_y(2,-1)\big)^{2}}.
Usando as formas exatas:
\|\nabla V(2,-1)\| =\sqrt{\big(-\sin 2 + 8e^{-4}\big)^{2}+\big(-2\sin 2 - 8e^{-4}\big)^{2}}.
Valor numérico aproximado:
\boxed{\,\|\nabla V(2,-1)\|\approx 2{,}1083\,.}

Passo 8

c) O vetor unitário que produz a derivada direcional máxima é o vetor gradiente normalizado:
\mathbf{u}_{\max}=\frac{\nabla V(2,-1)}{\|\nabla V(2,-1)\|}.
Substituindo numericamente:
\mathbf{u}_{\max}\approx\frac{(-0,7627723,\,-1,9651200)}{2,1083} \approx(-0,3620,\,-0,9322).
Logo
\boxed{\,\mathbf{u}_{\max}\approx(-0,3620,\,-0,9322)\,}.

Passo 9

d) Ângulo \alpha que o gradiente faz com o eixo horizontal x.
Uso a função \operatorname{atan2} para obter o ângulo no quadrante correto:
\alpha=\operatorname{atan2}\big(V_y(2,-1),\,V_x(2,-1)\big).
Como V_x(2,-1) e V_y(2,-1) são negativos, o vetor gradiente está no terceiro quadrante. Numericamente:
\alpha\approx 4{,}344\\ \text{rad}\approx 248{,}8^\circ.
Em outras palavras, medido do eixo positivo x no sentido anti-horário, o gradiente aponta aproximadamente para 248{,}8^\circ.

Passo 10

e) Ângulo \varphi formado entre o vetor unitário \mathbf{u} (o da letra a, direção de \vec{v}) e o gradiente \nabla V(2,-1).
Usando a fórmula do cosseno:
\cos\varphi=\frac{\mathbf{u}\cdot\nabla V(2,-1)}{\|\mathbf{u}\|\,\|\nabla V(2,-1)\|}.
Como \|\mathbf{u}\|=1, o numerador é exatamente a derivada direcional calculada na letra (a). Então
\cos\varphi=\frac{D_{\mathbf{u}}V(2,-1)}{\|\nabla V(2,-1)\|}.
Substituindo valores aproximados:
\cos\varphi\approx\frac{-1{,}64315}{2{,}1083}\approx -0{,}7796.
Portanto
\varphi=\operatorname{arccos}(-0{,}7796)\approx 2{,}468\\ \text{rad}\approx 141{,}4^\circ.
Isto indica que a direção \mathbf{u} forma um ângulo obtuso (aprox. 141{,}4^\circ) com o gradiente — ou seja, a direção dada está apontando, em grande parte, na direção oposta ao sentido de máxima subida (por isso a derivada direcional foi negativa).

Passo 11

f) Representação no plano cartesiano — coordenadas dos vetores para desenhar:
Vou listar os vetores (exatos quando possível e aproximações numéricas) que convém desenhar a partir da origem (0,0):
  • vetor direção original \vec{v}=(\sqrt{3},1) \approx(1{,}73205,\;1). (Se desejar, desenhar a flecha da origem até esse ponto.)
  • vetor unitário associado à letra (a): \displaystyle \mathbf{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\approx(0{,}8660,\;0{,}5).
  • gradiente em P: \displaystyle \nabla V(2,-1)=\big(-\sin 2 + 8e^{-4},\; -2\sin 2 - 8e^{-4}\big)\approx(-0{,}7628,\,-1{,}9651). Desenhar a flecha da origem até (-0{,}7628,-1{,}9651). Note que este ponto está no terceiro quadrante.
  • vetor unitário direção de máxima subida: \mathbf{u}_{\max}\approx(-0{,}3620,\,-0{,}9322). Desenhar a flecha da origem até esse ponto (mesma direção do gradiente, só que com comprimento 1).
Dicas de desenho:
  • Marque os eixos x e y.
  • Para o vetor \mathbf{u} (da letra a) uma flecha curta na direção (0{,}866,0{,}5) no primeiro quadrante.
  • Para \nabla V(2,-1) e \mathbf{u}_{\max} trace as setas no terceiro quadrante (ambas apontam para lá); \mathbf{u}_{\max} é o vetor direção com comprimento 1, e \nabla V é igual a \|\nabla V\|\cdot\mathbf{u}_{\max} (portanto mesma direção, comprimento maior).
  • Se quiser posicionar os vetores com origem no ponto P=(2,-1) (em vez da origem), desenhe-os com a cauda em P para ver como apontam a partir daquele ponto — isso é comum quando se quer visualizar a direção de maior crescimento partindo de P.

Resposta

(a) D_{\mathbf{u}}V(2,-1)=\dfrac{1}{2}\Big[-(\sqrt{3}+2)\sin 2 + 8(\sqrt{3}-1)e^{-4}\Big]\approx -1{,}64315.
(b) \displaystyle \max D_{\mathbf{u}}V(2,-1)=\|\nabla V(2,-1)\| =\sqrt{\big(-\sin 2 + 8e^{-4}\big)^{2}+\big(-2\sin 2 - 8e^{-4}\big)^{2}}\approx 2{,}1083.
(c) \displaystyle \mathbf{u}_{\max}=\frac{\nabla V(2,-1)}{\|\nabla V(2,-1)\|}\approx(-0{,}3620,\,-0{,}9322).
(d) \displaystyle \alpha=\operatorname{atan2}\big(V_y(2,-1),V_x(2,-1)\big)\approx 4{,}344\\ \text{rad}\approx 248{,}8^\circ.
(e) \displaystyle \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{D_{\mathbf{u}}V(2,-1)}{\|\nabla V(2,-1)\|}\right)\approx 2{,}468\\ \text{rad}\approx 141{,}4^\circ.
(f) Coordenadas para desenhar no plano (a partir da origem):
  • \vec{v}=(\sqrt{3},1)\approx(1{,}73205,\,1);
  • \mathbf{u}=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2})\approx(0{,}8660,\,0{,}5);
  • \nabla V(2,-1)=\big(-\sin 2 + 8e^{-4},\,-2\sin 2 - 8e^{-4}\big)\approx(-0{,}7628,\,-1{,}9651);
  • \mathbf{u}_{\max}\approx(-0{,}3620,\,-0{,}9322).

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