O potencial elétrico
em um ponto genérico
num sistema de coordenadas retangulares é dado pela expressão
. Determine:
a) a derivada direcional (taxa de variação instantânea) no ponto
considerando a direção segundo o vetor
b) a derivada direcional máxima;
c) o vetor unitário que produz a derivada direcional máxima;
d) o ângulo (
) que o vetor gradiente faz com o eixo horizontal;
e) o ângulo (
) formado pelos vetores unitário e gradiente;
f) a representação num plano cartesiano dos vetores referenciados acima.
a) a derivada direcional (taxa de variação instantânea) no ponto
b) a derivada direcional máxima;
c) o vetor unitário que produz a derivada direcional máxima;
d) o ângulo (
e) o ângulo (
f) a representação num plano cartesiano dos vetores referenciados acima.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico em função de
:
Ponto e direção fornecidos:
- ponto
; - vetor direção
.
O que se pede:
a) a derivada direcional de em
na direção de
;
b) a derivada direcional máxima naquele ponto;
c) o vetor unitário que produz essa derivada direcional máxima;
d) o ângulo que o vetor gradiente faz com o eixo horizontal;
e) o ângulo formado entre o vetor unitário (da letra a) e o gradiente;
f) como representar graficamente os vetores citados no plano cartesiano (coordenadas para desenhar).
a) a derivada direcional de
b) a derivada direcional máxima naquele ponto;
c) o vetor unitário que produz essa derivada direcional máxima;
d) o ângulo
e) o ângulo
f) como representar graficamente os vetores citados no plano cartesiano (coordenadas para desenhar).
Passo 2
Explicando os conceitos que usarei (com calma):
- A derivada direcional de uma função
na direção do vetor unitário em um ponto é o produto escalar do gradiente com :
Isto significa: primeiro encontra-se o vetor gradiente
(as derivadas parciais), depois projeta-se esse gradiente sobre a direção unitária
.
- O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
- A maior taxa de variação instantânea (derivada direcional máxima) em um ponto é o módulo do gradiente:
- O vetor unitário que produz essa máxima variação é o gradiente normalizado:
- O ângulo
entre o gradiente e o eixo pode ser obtido por
que dá o ângulo correto considerando o quadrante.
- O ângulo
entre dois vetores e pode ser obtido pela fórmula com cosseno:
Vou aplicar tudo isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(usando regra da cadeia e produto quando necessário).
Primeiro escrevo
e
. Então
Derivando em relação a
:
Agora as derivadas internas:
Logo
Derivando em relação a
:
As derivadas internas:
Portanto
Passo 4
Avalio
em
. Primeiro calculos auxiliares:
Logo
e
.
Agora calculo
:
Simplificando passo a passo:
e
Portanto
Agora
:
Portanto
Posso deixar o gradiente na forma exata em termos de
e
:
Para usar numericamente (aproximações úteis; assumindo radianos):
Substituindo:
Passo 5
Calcular o vetor unitário na direção de
(este é o
que aparece na letra a).
Norma de
:
Logo o vetor unitário associado é
com valores numéricos aproximados
Passo 6
a) Derivada direcional em
na direção de
: é
.
Produto escalar (faço symbolicamente primeiro):
Colocando em uma forma combinada:
Numericamente, usando as aproximações acima:
(Interpretação rápida: o valor negativo indica que, movendo-se na direção de
a partir de
, o potencial diminui instantaneamente — a taxa de diminuição é aproximadamente
unidades por unidade de comprimento nessa direção.)
Passo 7
b) Derivada direcional máxima: é o módulo do gradiente em
:
Usando as formas exatas:
Valor numérico aproximado:
Passo 8
c) O vetor unitário que produz a derivada direcional máxima é o vetor gradiente normalizado:
Substituindo numericamente:
Logo
Passo 9
d) Ângulo
que o gradiente faz com o eixo horizontal
.
Uso a função
para obter o ângulo no quadrante correto:
Como
e
são negativos, o vetor gradiente está no terceiro quadrante. Numericamente:
Em outras palavras, medido do eixo positivo
no sentido anti-horário, o gradiente aponta aproximadamente para
.
Passo 10
e) Ângulo
formado entre o vetor unitário
(o da letra a, direção de
) e o gradiente
.
Usando a fórmula do cosseno:
Como
, o numerador é exatamente a derivada direcional calculada na letra (a). Então
Substituindo valores aproximados:
Portanto
Isto indica que a direção
forma um ângulo obtuso (aprox.
) com o gradiente — ou seja, a direção dada está apontando, em grande parte, na direção oposta ao sentido de máxima subida (por isso a derivada direcional foi negativa).
Passo 11
f) Representação no plano cartesiano — coordenadas dos vetores para desenhar:
Vou listar os vetores (exatos quando possível e aproximações numéricas) que convém desenhar a partir da origem
:
- vetor direção original
. (Se desejar, desenhar a flecha da origem até esse ponto.) - vetor unitário associado à letra (a):
. - gradiente em
: Desenhar a flecha da origem até . Note que este ponto está no terceiro quadrante. - vetor unitário direção de máxima subida:
. Desenhar a flecha da origem até esse ponto (mesma direção do gradiente, só que com comprimento ).
Dicas de desenho:
- Marque os eixos
e . - Para o vetor
(da letra a) uma flecha curta na direção no primeiro quadrante. - Para
e trace as setas no terceiro quadrante (ambas apontam para lá); é o vetor direção com comprimento 1, e é igual a (portanto mesma direção, comprimento maior). - Se quiser posicionar os vetores com origem no ponto
(em vez da origem), desenhe-os com a cauda em para ver como apontam a partir daquele ponto — isso é comum quando se quer visualizar a direção de maior crescimento partindo de .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Coordenadas para desenhar no plano (a partir da origem):
-
; -
; -
; -
.