Questão 04)(1,0) Encontre o Fator de Integração da E.D.O
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial:
Informações dadas:
-
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ).
O que o problema pede:
- Encontrar um fator de integração
(uma função não nula de e/ou ) que torne a equação exata.
Passo 2
Primeiro lembrando (mini-aula): uma equação diferencial escrita como
é exata se existe uma função
tal que
e
. Um teste prático é verificar se
Vamos calcular as derivadas parciais para ver se a equação já é exata:
Como
em geral, a equação não é exata. Precisamos, portanto, procurar um fator de integração
.
Passo 3
Mini-aula sobre fatores de integração simples: costuma-se tentar um fator de integração que dependa só de
,
, ou só de
,
. As condições práticas são:
- Se existe
, então
deve ser função apenas de
.
- Se existe
, então
deve ser função apenas de
.
Agora aplico essas fórmulas ao nosso caso. Primeiro testo a possibilidade
porque
é simples aqui. Calculo o lado direito:
que é de fato uma função que depende só de
. Isso indica que existe
que depende apenas de
.
Passo 4
Agora encontramos
integrando a relação
Integramos ambos os lados em
:
Exponenciando:
Como qualquer constante multiplicativa
pode ser ignorada na escolha do fator de integração (multiplicar por constante não altera a exatidão), podemos escolher a forma conveniente
tomando
. (Se desejar manter geral, pode usar
.)
Passo 5
Verificação rápida (mini-aula de confirmação): multiplico a equação original por
. Os novos coeficientes são
Calculo as derivadas parciais:
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é um fator de integração válido.
Passo 6
(Bônus prático — como resolver depois de achar
): para resolver a equação depois de multiplicar por
, procura-se
tal que
. Integrando em
:
Derivando em
:
que deve ser igual a
. Assim
e integrando:
Logo a solução implícita da EDO (após usar o fator de integração) é