Questão 04)(1,0) Encontre o Fator de Integração da E.D.O
y d x+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial na forma diferencial:
y\,dx+\left(2xy-e^{-2y}\right)\,dy=0.
Informações dadas:
  • M(x,y)=y (coeficiente de dx).
  • N(x,y)=2xy-e^{-2y} (coeficiente de dy).
O que o problema pede:
  • Encontrar um fator de integração \mu (uma função não nula de x e/ou y) que torne a equação exata.

Passo 2

Primeiro lembrando (mini-aula): uma equação diferencial escrita como
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N. Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular as derivadas parciais para ver se a equação já é exata:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy-e^{-2y})=2y.
Como 1\neq 2y em geral, a equação não é exata. Precisamos, portanto, procurar um fator de integração \mu.

Passo 3

Mini-aula sobre fatores de integração simples: costuma-se tentar um fator de integração que dependa só de x, \mu=\mu(x), ou só de y, \mu=\mu(y). As condições práticas são:
  • Se existe \mu=\mu(x), então
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}
deve ser função apenas de x.
  • Se existe \mu=\mu(y), então
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{M}
deve ser função apenas de y.
Agora aplico essas fórmulas ao nosso caso. Primeiro testo a possibilidade \mu=\mu(y) porque M é simples aqui. Calculo o lado direito:
\frac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2y-1}{y} =2-\frac{1}{y},
que é de fato uma função que depende só de y. Isso indica que existe \mu que depende apenas de y.

Passo 4

Agora encontramos \mu(y) integrando a relação
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=2-\frac{1}{y}.
Integramos ambos os lados em y:
\ln \mu(y)=\int\left(2-\frac{1}{y}\right)\,dy=2y-\ln|y|+C.
Exponenciando:
\mu(y)=C\,\frac{e^{2y}}{|y|}.
Como qualquer constante multiplicativa C\neq0 pode ser ignorada na escolha do fator de integração (multiplicar por constante não altera a exatidão), podemos escolher a forma conveniente
\mu(y)=\frac{e^{2y}}{y},
tomando y\neq0. (Se desejar manter geral, pode usar \mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{|y|}.)

Passo 5

Verificação rápida (mini-aula de confirmação): multiplico a equação original por \mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y}. Os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=\mu M=\frac{e^{2y}}{y}\cdot y=e^{2y},
\tilde N(x,y)=\mu N=\frac{e^{2y}}{y}\left(2xy-e^{-2y}\right)=2x e^{2y}-\frac{1}{y}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{d}{dy}\left(e^{2y}\right)=2e^{2y}, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x e^{2y}-\frac{1}{y}\right)=2e^{2y}.
Como as derivadas coincidem, a equação multiplicada por \mu é exata. Portanto \mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y} é um fator de integração válido.

Passo 6

(Bônus prático — como resolver depois de achar \mu): para resolver a equação depois de multiplicar por \mu, procura-se \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=\tilde M=e^{2y}. Integrando em x:
\Psi(x,y)=\int e^{2y}\,dx=x e^{2y}+h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=2x e^{2y}+h'(y),
que deve ser igual a \tilde N=2x e^{2y}-\dfrac{1}{y}. Assim h'(y)=-\dfrac{1}{y} e integrando:
h(y)=-\ln|y|+C.
Logo a solução implícita da EDO (após usar o fator de integração) é
x e^{2y}-\ln|y|=C.

Resposta

\mu(y)=\dfrac{e^{2y}}{y}

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