Esta é uma equação separável: escrevemos du/dx=(u^{2}+1)/(u x). Colocando termos em u de um lado e em x do outro:
\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\frac{dx}{x}.
Explico o porquê da separação: multiplicando ambos os lados por \dfrac{u}{u^{2}+1}\,dx obtemos formas onde o diferencial de u aparece multiplicado apenas por função de u e dx multiplicado apenas por função de x, permitindo integrar.
Passo 6
Integrar ambos os lados:
Integramos as duas parcelas:
\int\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\int\frac{dx}{x}.
Para o lado esquerdo, faça a substituição w=u^{2}+1, então dw=2u\,du e \dfrac{u\,du}{u^{2}+1}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dw}{w}. Assim
Logo existe uma constante positiva A=e^{2C}>0 tal que
u^{2}+1=A x^{2}.
Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, substituímos:
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1=A x^{2}.
Multiplicando por x^{2}:
y^{2}+x^{2}=A x^{4}.
Essa é a forma implícita geral da solução. Podemos isolar y explicitamente (lembrando do sinal ±):
y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},
com a condição implícita de domínio A x^{2}-1\ge0 (para raízes reais) e x\neq0. Também note que a constante A é positiva porque u^{2}+1>0 para todo u.
Passo 8
Observações finais e domínio:
A solução geral está dada implicitamente por
y^{2}+x^{2}=A x^{4},\qquad A>0,
ou explicitamente por
y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},\qquad A>0.
Lembrar que no processo usamos divisões por x e por y, logo a dedução vale em regiões onde x\neq0 e y\neq0. Não há solução válida atravessando x=0 ou y=0 no mesmo procedimento; tais casos devem ser analisados separadamente (a equação original não está definida em x=0 ou y=0).
Resposta
(a) f é homogênea de grau 0, pois f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0.\n
(b) Solução geral: \;y^{2}+x^{2}=A x^{4},\; A>0\; (equivalente a \;y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},\;A>0).