Questão 2) (1,5) Considere a função abaixo
f(x, y)=\frac{x^{2}+2 y^{2}}{x y}
(a) Mostre que essa EDO é homogênea
(b) Utilizando a mudança de variável y=u x, resolva a EDO y^{\prime}=f(x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+2y^{2}}{x y}
e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a EDO y'=f(x,y) é homogênea.
  • (b) Resolver a EDO y'=f(x,y) usando a mudança de variável y=ux.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é a ordinária de primeira ordem
y'=\frac{x^{2}+2y^{2}}{x y}.
  • A mudança sugerida é y=ux, onde u é função de x.
  • Note que a expressão de f está indefinida se x=0 ou y=0, então devemos tomar x\neq0 e y\neq0 no desenvolvimento.

Passo 2

O que significa ser uma função homogênea (definição e aplicação ao caso):
  • Definição: uma função f(x,y) é homogênea de grau n se, para todo t\neq0,
f(tx,ty)=t^{n}f(x,y).
  • Aqui vamos verificar a homogeneidade de f. Calcular f(tx,ty):
f(tx,ty)=\frac{(tx)^{2}+2(ty)^{2}}{(tx)(ty)} =\frac{t^{2}x^{2}+2t^{2}y^{2}}{t^{2}x y} =\frac{t^{2}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)}{t^{2}x y} =\frac{x^{2}+2y^{2}}{x y}=f(x,y).
  • Conclusão: f(tx,ty)=f(x,y), ou seja, f é homogênea de grau 0.

Passo 3

Por que usar y=ux e como obter y' em termos de u:
  • Para uma EDO da forma y'=f(x,y) com f homogênea de grau 0, a substituição clássica é y=ux. Isso transforma a equação em uma separável em u e x.
  • Se y=ux, então u=u(x) e, derivando em relação a x (regra do produto),
y'=\frac{d}{dx}(u x)=u + x\frac{du}{dx}=u+xu'.
Aqui u'=\dfrac{du}{dx}. Essa identidade será usada para substituir o y' na EDO.

Passo 4

Substituir y=ux na EDO e simplificar o lado direito em função de u:
  • Primeiro escrevemos o lado direito em termos de y e x:
\frac{x^{2}+2y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}}{x y}+\frac{2y^{2}}{x y}=\frac{x}{y}+2\frac{y}{x}.
  • Substituindo y=ux nas frações:
\frac{x}{y}=\frac{x}{u x}=\frac{1}{u},\qquad \frac{y}{x}=\frac{u x}{x}=u.
  • Assim o lado direito fica
\frac{x^{2}+2y^{2}}{x y}=\frac{1}{u}+2u.
  • Agora substituímos y'=u+xu' (do Passo 3) e obtemos a equação em u:
u + x u'=\frac{1}{u}+2u.

Passo 5

Isolar u' e obter uma equação separável:
  • Subtraindo u de ambos os lados:
x u'=\frac{1}{u}+2u-u=\frac{1}{u}+u.
  • Dividindo por x (lembrando que estamos supondo x\neq0):
u'=\frac{1}{x}\Bigl(\frac{1}{u}+u\Bigr)=\frac{u^{2}+1}{u x}.
  • Esta é uma equação separável: escrevemos du/dx=(u^{2}+1)/(u x). Colocando termos em u de um lado e em x do outro:
\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\frac{dx}{x}.
Explico o porquê da separação: multiplicando ambos os lados por \dfrac{u}{u^{2}+1}\,dx obtemos formas onde o diferencial de u aparece multiplicado apenas por função de u e dx multiplicado apenas por função de x, permitindo integrar.

Passo 6

Integrar ambos os lados:
  • Integramos as duas parcelas:
\int\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\int\frac{dx}{x}.
  • Para o lado esquerdo, faça a substituição w=u^{2}+1, então dw=2u\,du e \dfrac{u\,du}{u^{2}+1}=\dfrac{1}{2}\dfrac{dw}{w}. Assim
\int\frac{u}{u^{2}+1}\,du=\frac{1}{2}\int\frac{dw}{w}=\frac{1}{2}\ln\bigl|w\bigr|+\text{const}=\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)+\text{const}.
  • O lado direito é
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\text{const}.
  • Juntando (colocando uma única constante C):
\frac{1}{2}\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)=\ln|x|+C.

Passo 7

Resolver para u e voltar para y:
  • Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\bigl(u^{2}+1\bigr)=2\ln|x|+2C=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(e^{2C}\bigr)=\ln\bigl(e^{2C}x^{2}\bigr).
  • Logo existe uma constante positiva A=e^{2C}>0 tal que
u^{2}+1=A x^{2}.
  • Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, substituímos:
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1=A x^{2}.
  • Multiplicando por x^{2}:
y^{2}+x^{2}=A x^{4}.
  • Essa é a forma implícita geral da solução. Podemos isolar y explicitamente (lembrando do sinal ±):
y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},
com a condição implícita de domínio A x^{2}-1\ge0 (para raízes reais) e x\neq0. Também note que a constante A é positiva porque u^{2}+1>0 para todo u.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A solução geral está dada implicitamente por
y^{2}+x^{2}=A x^{4},\qquad A>0,
ou explicitamente por
y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},\qquad A>0.
  • Lembrar que no processo usamos divisões por x e por y, logo a dedução vale em regiões onde x\neq0 e y\neq0. Não há solução válida atravessando x=0 ou y=0 no mesmo procedimento; tais casos devem ser analisados separadamente (a equação original não está definida em x=0 ou y=0).

Resposta

(a) f é homogênea de grau 0, pois f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0.\n
(b) Solução geral: \;y^{2}+x^{2}=A x^{4},\; A>0\; (equivalente a \;y=\pm x\sqrt{A x^{2}-1},\;A>0).

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