*4) Demonstre explicitamente, por aplicação das derivadas, ou utilizando os teoremas de Gauss e Stokes que:
Qual é a versão integral das duas identidades vetoriais acima (utilize os teoremas de Gauss e Stokes apropriadamente)?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as identidades vetoriais
e
são válidas, e depois escrever suas formas integrais usando os teoremas de Stokes e de Gauss. Vamos usar definições de derivadas parciais e os teoremas de superfície (Stokes) e volume (Gauss).
Passo 2
Para demonstrar
usamos a forma componente a componente. O i-ésimo componente do rotacional é
Como as derivadas parciais comutam (
) e
é antissimétrico em
, a soma se anula, dando zero.
Passo 3
Para demonstrar
usamos uma lógica análoga. Pela definição de divergente do rotacional:
Novamente as derivadas parciais comutam e a contracção com o tensor totalmente antissimétrico
zera o resultado.
Passo 4
A forma integral da primeira identidade vem do teorema de Stokes, que diz que a integral de superfície do rotacional sobre
é a integral de linha sobre a fronteira
:
Como a integral de linha de um gradiente num caminho fechado é zero, essa superfície integral também é zero.
Passo 5
A forma integral da segunda identidade vem do teorema da divergência (Gauss), que relaciona o volume
à sua fronteira
:
Como mostramos que
localmente, a integral de fluxo pela superfície fechada também é zero.
Resposta
As formas integrais das identidades são: