*4) Demonstre explicitamente, por aplicação das derivadas, ou utilizando os teoremas de Gauss e Stokes que:
nabla times(nabla Phi) & =0 nabla cdot(nabla times A) & =0
Qual é a versão integral das duas identidades vetoriais acima (utilize os teoremas de Gauss e Stokes apropriadamente)?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as identidades vetoriais nablatimes(nablaPhi)=0 e nablacdot(nablatimesA)=0 são válidas, e depois escrever suas formas integrais usando os teoremas de Stokes e de Gauss. Vamos usar definições de derivadas parciais e os teoremas de superfície (Stokes) e volume (Gauss).

Passo 2

Para demonstrar nablatimes(nablaPhi)=0 usamos a forma componente a componente. O i-ésimo componente do rotacional é
(nablatimes(nablaPhi))i=varepsilonijk,partialj(partialkPhi)=varepsilonijk,partialjpartialkPhi
Como as derivadas parciais comutam ( partialjpartialk=partialkpartialj) e varepsilonijk é antissimétrico em j,k, a soma se anula, dando zero.

Passo 3

Para demonstrar nablacdot(nablatimesA)=0 usamos uma lógica análoga. Pela definição de divergente do rotacional:
nablacdot(nablatimesA)=partialil(varepsilonijk,partialjAkr)=varepsilonijk,partialipartialjAk
Novamente as derivadas parciais comutam e a contracção com o tensor totalmente antissimétrico varepsilonijk zera o resultado.

Passo 4

A forma integral da primeira identidade vem do teorema de Stokes, que diz que a integral de superfície do rotacional sobre S é a integral de linha sobre a fronteira partial S:
integralS(nablatimes(nablaPhi))cdot dS=ointpartial SnablaPhicdot dr
Como a integral de linha de um gradiente num caminho fechado é zero, essa superfície integral também é zero.

Passo 5

A forma integral da segunda identidade vem do teorema da divergência (Gauss), que relaciona o volume V à sua fronteira partial V:
integralVnablacdot(nablatimesA),dV=ointpartial V(nablatimesA)cdot dS
Como mostramos que nablacdot(nablatimesA))=0 localmente, a integral de fluxo pela superfície fechada também é zero.

Resposta

As formas integrais das identidades são:
integralS(nablatimes(nablaPhi))cdot dS=ointpartial SnablaPhicdot dr=0,
integralVnablacdot(nablatimesA),dV=ointpartial V(nablatimesA)cdot dS=0

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