(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada v(x, y) para as funções u(x, y) dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
u=x^{2}-y^{2}+x

Passo 1

O enunciado dá a função \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}+x\; e pede para determinar uma função harmônica conjugada v(x,y) (ou seja, encontrar v tal que u+iv seja uma função holomorfa localmente).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função dada é \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}+x\;.
  • O que se pede: encontrar v(x,y) que seja uma conjugada harmônica de u (até uma constante aditiva).

Passo 2

O que é preciso saber (explicação didática e fórmulas usadas):
  • Uma função u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} é a segunda derivada parcial em relação a y.
  • Se u é harmônica e possui uma conjugada harmônica v, então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Explicando as notações:
  • u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x.
  • u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial de u em relação a y.
  • v_x e v_y são definições análogas para v.
  • Método prático para encontrar v: calcular u_x e u_y; usar v_y=u_x para integrar em y obtendo v com uma função arbitrária de x; então usar a outra equação v_x=-u_y para determinar essa função de x.

Passo 3

Verificar que u é harmônica (passo de segurança e também uma lição sobre verificar hipóteses).
Calcular as segundas derivadas:
u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}-y^{2}+x\right)=2x+1,
u_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x+1)=2.
E em y:
u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}-y^{2}+x\right)=-2y,
u_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2.
Agora a Laplaciana:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=2+(-2)=0.
Como \Delta u=0, \;u é realmente harmônica, então faz sentido procurar uma conjugada harmônica v.

Passo 4

Aplicar as equações de Cauchy–Riemann. Já calculamos:
u_x=2x+1,\qquad u_y=-2y.
Usaremos as duas relações
v_y = u_x = 2x+1,\qquad v_x = -u_y = 2y.
Começamos integrando a primeira para obter v.

Passo 5

Integrar \;v_y=2x+1\; em relação a y (tratando x como constante ao integrar):
v(x,y)=\int (2x+1)\,dy = (2x+1)\,y + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y). Aqui explicando: ao integrar uma expressão que depende de x e y em y, qualquer função que dependa só de x desaparece na derivada em y, portanto deve aparecer como termo indeterminado.

Passo 6

Determinar \varphi(x) usando a segunda equação de Cauchy–Riemann. Calcular v_x a partir da expressão obtida:
v_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\big((2x+1)y+\varphi(x)\big)=2y+\varphi'(x).
Mas pela equação de Cauchy–Riemann devemos ter v_x=2y. Portanto
2y+\varphi'(x)=2y \quad\Rightarrow\quad \varphi'(x)=0.
Isso implica que \varphi(x) é uma constante. Chame-a de C.

Passo 7

Concluir a forma de v. Substituindo \varphi(x)=C na expressão de v:
v(x,y)=(2x+1)\,y + C.
Podemos também escrever de forma expandida como
v(x,y)=2xy+y+C.
O C é uma constante real arbitrária, já que a conjugada harmônica é determinada só até adição de constante.

Passo 8

Checagem final rápida (aprender a checar na prova): verificar que as Cauchy–Riemann funcionam com essa v:
v_y=2x+1=u_x,\qquad v_x=2y=-u_y,
logo tudo bate. Além disso, v também é harmônica (poderia checar \Delta v=0), como esperado para uma conjugada harmônica.

Resposta

\;v(x,y)= (2x+1)\,y + C = 2xy + y + C,\; onde C é constante real.

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