(Potencial e Funções Harmônicas) Determine a função harmônica conjugada
para as funções
dadas (Fonte: Bassalo, Cap. 1):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar uma função harmônica conjugada
(ou seja, encontrar
tal que
seja uma função holomorfa localmente).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função dada é
- O que se pede: encontrar
que seja uma conjugada harmônica de (até uma constante aditiva).
Passo 2
O que é preciso saber (explicação didática e fórmulas usadas):
- Uma função
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
Aqui
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
.
- Se
é harmônica e possui uma conjugada harmônica , então e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Explicando as notações:
-
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . -
e são definições análogas para . - Método prático para encontrar
: calcular e ; usar para integrar em obtendo com uma função arbitrária de ; então usar a outra equação para determinar essa função de .
Passo 3
Verificar que
é harmônica (passo de segurança e também uma lição sobre verificar hipóteses).
Calcular as segundas derivadas:
Calcular as segundas derivadas:
E em
:
Agora a Laplaciana:
Como
,
é realmente harmônica, então faz sentido procurar uma conjugada harmônica
.
Passo 4
Aplicar as equações de Cauchy–Riemann. Já calculamos:
Usaremos as duas relações
Começamos integrando a primeira para obter
.
Passo 5
Integrar
em relação a
(tratando
como constante ao integrar):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Aqui explicando: ao integrar uma expressão que depende de
e
em
, qualquer função que dependa só de
desaparece na derivada em
, portanto deve aparecer como termo indeterminado.
Passo 6
Determinar
usando a segunda equação de Cauchy–Riemann. Calcular
a partir da expressão obtida:
Mas pela equação de Cauchy–Riemann devemos ter
. Portanto
Isso implica que
é uma constante. Chame-a de
.
Passo 7
Concluir a forma de
. Substituindo
na expressão de
:
Podemos também escrever de forma expandida como
O
é uma constante real arbitrária, já que a conjugada harmônica é determinada só até adição de constante.
Passo 8
Checagem final rápida (aprender a checar na prova): verificar que as Cauchy–Riemann funcionam com essa
:
logo tudo bate. Além disso,
também é harmônica (poderia checar
), como esperado para uma conjugada harmônica.