(a) Para um potencial gravitacional, V(r) propto-1r, qual é o valor de n ? Use-o para determinar a relação entre lang<= Trang<= e lang<= Urang<=;
(b) para uma mola ideal, com V(r)=12 k r^2, qual é o valor de n ? Use-o para determinar a relação entre lang<= Trang<= e lang<= Urang<=.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas situações:
a) Um potencial gravitacional que varia como $ V® \propto -\frac{1}{r} $.
b) Uma mola ideal com potencial $ V® = \frac{1}{2} k r^{2} $.
A matéria envolvida aqui é a mecânica clássica, mais especificamente o estudo de potenciais e energia em sistemas físicos. Precisaremos entender como relacionar a energia cinética média $ \langle T \rangle $ com a energia potencial média $ \langle U \rangle $ para cada tipo de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos abordar a parte (a) do exercício. O potencial gravitacional é dado por $ V® \propto -\frac{1}{r} $. Aqui, $ r $ representa a distância, e o sinal negativo indica que é um potencial atrativo.

Passo 3

Para encontrar o valor de $ n $ na expressão geral do potencial $ V® \propto r^{n} $, comparamos as duas formas. No caso gravitacional:
n

Passo 4

Agora, precisamos determinar a relação entre a energia cinética média $ \langle T \rangle $ e a energia potencial média $ \langle U \rangle $. Em mecânica clássica, para potenciais da forma $ V® \propto r^{n} $, a relação entre essas energias é dada por:
lang<= T rang<=

Passo 5

Substituindo o valor de $ n = -1 $ na relação acima:
n = -1
Isso nos mostra que a energia cinética média é negativa metade da energia potencial média para o potencial gravitacional.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. O potencial da mola ideal é dado por $ V® = \frac{1}{2} k r^{2} $. Nesse caso, $ k $ é a constante da mola e o potencial varia com o quadrado da distância $ r $.

Passo 7

Novamente, identificamos $ n $ comparando com a expressão geral $ V® \propto r^{n} $:
n

Passo 8

Utilizando a mesma relação entre $ \langle T \rangle $ e $ \langle U \rangle $ para potenciais da forma $ V® \propto r^{n} $:
lang<= T rang<=

Passo 9

Substituindo $ n = 2 $:
n = 2
lang<= T rang<= = 22 lang<= U rang<=
Isso significa que, para a mola ideal, a energia cinética média é igual à energia potencial média.

Resposta

a) Para o potencial gravitacional $ V® \propto -\frac{1}{r} $, temos $ n = -1 $ e a relação entre as energias é $ \langle T \rangle = -\frac{1}{2} \langle U \rangle $.
b) Para a mola ideal $ V® = \frac{1}{2} k r^{2} $, temos $ n = 2 $ e a relação entre as energias é $ \langle T \rangle = \langle U \rangle $.

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