(Campo Vetorial e Energia Eletrostática) Seja
.
(a) Calcule
e interprete o resultado.
(b) Determine o fluxo total através de um cubo de aresta
centrado na origem.
(c) Discuta a consistência com o Teorema de Gauss.
(a) Calcule
(b) Determine o fluxo total através de um cubo de aresta
(c) Discuta a consistência com o Teorema de Gauss.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que nos é dado e o que se pede):\n
Temos o campo vetorial .\n
As perguntas são: (a) calcular e interpretar o resultado; (b) determinar o fluxo total de
através de um cubo de aresta
centrado na origem; (c) discutir a consistência com o Teorema de Gauss.\n
Dados geométricos que vamos usar: o cubo é centrado na origem, portanto as faces planas ficam em ,
,
. Cada face tem área
. O vetor normal em uma face plana é constante e aponta para fora do cubo.
Temos o campo vetorial
As perguntas são: (a) calcular
Dados geométricos que vamos usar: o cubo é centrado na origem, portanto as faces planas ficam em
Passo 2
O que é e como calcular
(aulas rápida e prática):\n
Definição: para um campo a divergência é
Definição: para um campo
Interpretação física (de forma simples):
mede a taxa local de “saída” do campo por unidade de volume — pensa como se fosse a quantidade líquida que escapa de um ponto. Em problemas eletrostáticos existe a relação (forma diferencial da lei de Gauss)
onde
é a densidade de carga e
é uma constante; assim
indica presença de carga local.
Agora aplicando a definição ao nosso campo
: calcule cada derivada parcial passo a passo:
Somando:
Interpretação do resultado:
em todo ponto. Isso significa que não há fontes nem sumidouros locais do campo — na linguagem eletrostática, a densidade de carga
associada a esse campo é zero em todo lugar (assumindo espaço livre, sem singularidades).
Passo 3
Definição de fluxo e estratégia para calcular o fluxo total pelo cubo:\n
Definição: o fluxo do campo através de uma superfície
é
Definição: o fluxo do campo
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora da superfície. Para faces planas do cubo
é simplesmente a área diferencial e
é constante; então
pode ser avaliado nas coordenadas da face e integrado sobre o retângulo (ou, por simetria, multiplicado pela área se a componente não depende das coordenadas variáveis da face). Vamos calcular face a face e somar as contribuições.
Passo 4
Fluxo através das faces
(faces perpendiculares ao eixo
):\n
Na face o vetor normal unitário exterior é
. Em qualquer ponto dessa face
e
variam no intervalo
. O produto escalar é
Na face
que é constante na face. Então o fluxo por essa face é
Na face
o normal exterior é
. Em pontos dessa face
. O produto escalar é
Como
, temos
(constante). Portanto o fluxo por essa face também é
Somando as duas faces em
:
Passo 5
Fluxo através das faces
(faces perpendiculares ao eixo
):\n
No lado o normal é
. Em qualquer ponto dessa face
e
No lado
Fluxo:
No lado
o normal exterior é
. Em
,
Com
temos
. Logo
Somando as duas faces em
:
Passo 6
Fluxo através das faces
(faces perpendiculares ao eixo
):\n
Na face o normal exterior é
. Em
,
Na face
Fluxo:
Na face
o normal exterior é
. Em
,
Como
,
. Assim
Somando as duas faces em
:
Passo 7
Somando todas as contribuições de faces e concluindo o item (b):\n
Soma total:
Soma total:
Portanto o fluxo total através do cubo centrado na origem é zero. Observação intuitiva: cada face tem fluxo não nulo, mas os sinais e magnitudes se combinam para cancelamento total.
Passo 8
Aplicando o Teorema de Gauss (verificação e discussão — item (c)):\n
Enunciado do Teorema de Gauss (forma integral/diferencial aplicada aqui): para um sólido com fronteira orientada para fora
,
Enunciado do Teorema de Gauss (forma integral/diferencial aplicada aqui): para um sólido
No nosso caso já calculamos
em todo ponto (Passo 2). Portanto o integrando do volume é zero e o triplo integral dá
Pelo Teorema de Gauss, isso implica que o fluxo total pela superfície do cubo é zero, exatamente como encontramos calculando face a face. Conclusão: os dois métodos são consistentes.\n
Comentário físico: divergência nula em toda região sem singularidades implica fluxo líquido zero por qualquer superfície fechada nessa região. No caso elétrico, isso corresponde a não haver carga elétrica dentro do cubo.
Comentário físico: divergência nula em toda região sem singularidades implica fluxo líquido zero por qualquer superfície fechada nessa região. No caso elétrico, isso corresponde a não haver carga elétrica dentro do cubo.
Resposta
(a)
(não há fontes locais; densidade de carga
se interpretarmos eletrostática).\n
(b) Fluxo total através do cubo: .\n
(c) Consistente: pelo Teorema de Gauss , logo fluxo nulo e resultado direto por soma das faces coincidem.
(b) Fluxo total através do cubo:
(c) Consistente: pelo Teorema de Gauss