(Campo Vetorial e Energia Eletrostática) Seja \vec{E}=(x, 2 y,-3 z).
(a) Calcule \nabla \cdot \vec{E} e interprete o resultado.
(b) Determine o fluxo total através de um cubo de aresta a centrado na origem.
(c) Discuta a consistência com o Teorema de Gauss.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que nos é dado e o que se pede):\n
Temos o campo vetorial \vec{E}=(x,2y,-3z).\n
As perguntas são: (a) calcular \nabla\cdot\vec{E} e interpretar o resultado; (b) determinar o fluxo total de \vec{E} através de um cubo de aresta a centrado na origem; (c) discutir a consistência com o Teorema de Gauss.\n
Dados geométricos que vamos usar: o cubo é centrado na origem, portanto as faces planas ficam em x=\pm a/2, y=\pm a/2, z=\pm a/2. Cada face tem área a^2. O vetor normal em uma face plana é constante e aponta para fora do cubo.

Passo 2

O que é e como calcular \nabla\cdot\vec{E} (aulas rápida e prática):\n
Definição: para um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) a divergência é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Interpretação física (de forma simples): \nabla\cdot\vec{F} mede a taxa local de “saída” do campo por unidade de volume — pensa como se fosse a quantidade líquida que escapa de um ponto. Em problemas eletrostáticos existe a relação (forma diferencial da lei de Gauss)
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \rho é a densidade de carga e \varepsilon_0 é uma constante; assim \nabla\cdot\vec{E} indica presença de carga local.
Agora aplicando a definição ao nosso campo \vec{E}=(x,2y,-3z): calcule cada derivada parcial passo a passo:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,
\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,
\frac{\partial}{\partial z}(-3z)=-3.
Somando:
\nabla\cdot\vec{E}=1+2-3=0.
Interpretação do resultado: \nabla\cdot\vec{E}=0 em todo ponto. Isso significa que não há fontes nem sumidouros locais do campo — na linguagem eletrostática, a densidade de carga \rho associada a esse campo é zero em todo lugar (assumindo espaço livre, sem singularidades).

Passo 3

Definição de fluxo e estratégia para calcular o fluxo total pelo cubo:\n
Definição: o fluxo do campo \vec{E} através de uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da superfície. Para faces planas do cubo dS é simplesmente a área diferencial e \hat{n} é constante; então \vec{E}\cdot\hat{n} pode ser avaliado nas coordenadas da face e integrado sobre o retângulo (ou, por simetria, multiplicado pela área se a componente não depende das coordenadas variáveis da face). Vamos calcular face a face e somar as contribuições.

Passo 4

Fluxo através das faces x=\pm a/2 (faces perpendiculares ao eixo x):\n
Na face x=+a/2 o vetor normal unitário exterior é \hat{n}=(1,0,0). Em qualquer ponto dessa face x=a/2 e y,z variam no intervalo [-a/2,a/2]. O produto escalar é
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_x=x=a/2,
que é constante na face. Então o fluxo por essa face é
\Phi_{x=+a/2}=\iint_{\,\text{face}} a/2\,dS = \frac{a}{2}\cdot a^2=\frac{a^3}{2}.
Na face x=-a/2 o normal exterior é \hat{n}=(-1,0,0). Em pontos dessa face x=-a/2. O produto escalar é
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_x\cdot(-1)=x\cdot(-1)=-x.
Como x=-a/2, temos -x= a/2 (constante). Portanto o fluxo por essa face também é
\Phi_{x=-a/2}=\frac{a}{2}\cdot a^2=\frac{a^3}{2}.
Somando as duas faces em x:
\Phi_{x\text{-faces}}=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}=a^3.

Passo 5

Fluxo através das faces y=\pm a/2 (faces perpendiculares ao eixo y):\n
No lado y=+a/2 o normal é \hat{n}=(0,1,0). Em qualquer ponto dessa face y=a/2 e
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_y=2y=2\cdot\frac{a}{2}=a.
Fluxo:
\Phi_{y=+a/2}=a\cdot a^2=a^3.
No lado y=-a/2 o normal exterior é \hat{n}=(0,-1,0). Em y=-a/2,
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_y\cdot(-1)=2y\cdot(-1)=-2y.
Com y=-a/2 temos -2y=-2(-a/2)=a. Logo
\Phi_{y=-a/2}=a\cdot a^2=a^3.
Somando as duas faces em y:
\Phi_{y\text{-faces}}=a^3+a^3=2a^3.

Passo 6

Fluxo através das faces z=\pm a/2 (faces perpendiculares ao eixo z):\n
Na face z=+a/2 o normal exterior é \hat{n}=(0,0,1). Em z=a/2,
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_z=-3z=-3\cdot\frac{a}{2}=-\frac{3a}{2}.
Fluxo:
\Phi_{z=+a/2}=-\frac{3a}{2}\cdot a^2=-\frac{3a^3}{2}.
Na face z=-a/2 o normal exterior é \hat{n}=(0,0,-1). Em z=-a/2,
\vec{E}\cdot\hat{n}=E_z\cdot(-1)=-3z\cdot(-1)=3z.
Como z=-a/2, 3z=3(-a/2)=-\frac{3a}{2}. Assim
\Phi_{z=-a/2}=-\frac{3a}{2}\cdot a^2=-\frac{3a^3}{2}.
Somando as duas faces em z:
\Phi_{z\text{-faces}}=-\frac{3a^3}{2}-\frac{3a^3}{2}=-3a^3.

Passo 7

Somando todas as contribuições de faces e concluindo o item (b):\n
Soma total:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{x\text{-faces}}+\Phi_{y\text{-faces}}+\Phi_{z\text{-faces}} = a^3 + 2a^3 -3a^3 = 0.
Portanto o fluxo total através do cubo centrado na origem é zero. Observação intuitiva: cada face tem fluxo não nulo, mas os sinais e magnitudes se combinam para cancelamento total.

Passo 8

Aplicando o Teorema de Gauss (verificação e discussão — item (c)):\n
Enunciado do Teorema de Gauss (forma integral/diferencial aplicada aqui): para um sólido V com fronteira orientada para fora \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{E}\,dV.
No nosso caso já calculamos \nabla\cdot\vec{E}=0 em todo ponto (Passo 2). Portanto o integrando do volume é zero e o triplo integral dá
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{E}\,dV=\iiint_{V}0\,dV=0.
Pelo Teorema de Gauss, isso implica que o fluxo total pela superfície do cubo é zero, exatamente como encontramos calculando face a face. Conclusão: os dois métodos são consistentes.\n
Comentário físico: divergência nula em toda região sem singularidades implica fluxo líquido zero por qualquer superfície fechada nessa região. No caso elétrico, isso corresponde a não haver carga elétrica dentro do cubo.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{E}=0 (não há fontes locais; densidade de carga \rho=0 se interpretarmos eletrostática).\n
(b) Fluxo total através do cubo: 0.\n
(c) Consistente: pelo Teorema de Gauss \iint_{\partial V}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{E}\,dV=0, logo fluxo nulo e resultado direto por soma das faces coincidem.

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