potencial de
se
.
Verifique se
é uma função potencial de
.
a)
e
b)
e
Verifique se
a)
b)
Passo 1
O objetivo é verificar se uma dada função φ é potencial de F, isto é, se ∇φ(x,y,…) coincide com F(x,y,…). Para isso vamos usar o operador gradiente e comparar as derivadas parciais de φ com os componentes de F.
Passo 2
No item (a) temos φ(x,y)=arctan(xy). Calculamos as derivadas parciais:
∂φ/∂x = 1/(1+(xy)^2)·∂(xy)/∂x = y/(1+x2y2)
∂φ/∂y = 1/(1+(xy)^2)·∂(xy)/∂y = x/(1+x2y2)
∂φ/∂y = 1/(1+(xy)^2)·∂(xy)/∂y = x/(1+x2y2)
Esses valores coincidem exatamente com os componentes de F(x,y)=(y/(1+x2y2), x/(1+x2y2)). Logo ∇φ=F no item (a).
Passo 3
No item (b) temos φ(x,y,z)=3x2−3y2+4z^2. Calculamos as derivadas parciais:
∂φ/∂x = 6x
∂φ/∂y = −6y
∂φ/∂z = 8z
∂φ/∂y = −6y
∂φ/∂z = 8z
O campo dado é F=(2x,−6y,8z). Vemos que ∂φ/∂x=6x≠2x, embora as outras coordenadas coincidam. Como ao menos um componente difere, ∇φ≠F no item (b).
Resposta
a) Sim, φ é função potencial de F. b) Não, φ não é função potencial de F.