potencial de F(x, y) se nabla phi(x, y)=F(x, y).
Verifique se phi(x, y) é uma função potencial de F(x, y).
a) phi(x, y)=arctan (x y) e F(x, y)=(y1+x^2 y^2, x1+x^2 y^2)
b) phi(x, y, z)=3 x^2-3 y^2+4 z^2 e F(x, y)=(2 x,-6 y, 8 z)

Passo 1

O objetivo é verificar se uma dada função φ é potencial de F, isto é, se ∇φ(x,y,…) coincide com F(x,y,…). Para isso vamos usar o operador gradiente e comparar as derivadas parciais de φ com os componentes de F.

Passo 2

No item (a) temos φ(x,y)=arctan(xy). Calculamos as derivadas parciais:
∂φ/∂x = 1/(1+(xy)^2)·∂(xy)/∂x = y/(1+x2y2)
∂φ/∂y = 1/(1+(xy)^2)·∂(xy)/∂y = x/(1+x2y2)
Esses valores coincidem exatamente com os componentes de F(x,y)=(y/(1+x2y2), x/(1+x2y2)). Logo ∇φ=F no item (a).

Passo 3

No item (b) temos φ(x,y,z)=3x2−3y2+4z^2. Calculamos as derivadas parciais:
∂φ/∂x = 6x
∂φ/∂y = −6y
∂φ/∂z = 8z
O campo dado é F=(2x,−6y,8z). Vemos que ∂φ/∂x=6x≠2x, embora as outras coordenadas coincidam. Como ao menos um componente difere, ∇φ≠F no item (b).

Resposta

a) Sim, φ é função potencial de F. b) Não, φ não é função potencial de F.

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