O potencial num ponto sobre o eixo central de um disco carregado é dado por
V=sigma2 varepsilon0(raizz^2+R^2-z)
Use a equação
Es=-partial Vpartial s
e a simetria para mostrar que E para tal ponto é dado por
E=sigma2 varepsilon0(1-zraizR^2+z^2)

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico num ponto sobre o eixo central de um disco de raio R com densidade superficial de carga sigma:
V(z)=sigma2varepsilon0l(raizz^2+R^2-zr)
Queremos usar a relação
Es=-partial Vpartial s
e a simetria (só existe componente ao longo do eixo, que chamamos de z) para obter
E(z)=sigma2varepsilon0l(1-zraizR^2+z^2r)

Passo 2

Reconhecemos que, por simetria, o campo só tem componente sobre o eixo, então identificamos s=z. Logo
E(z)=-dVdz
Substituímos a expressão de V(z) e diferenciamos.

Passo 3

Escrevendo
V(z)=sigma2varepsilon0l(f(z)-zr), f(z)=raizz^2+R^2,
temos
dVdz =sigma2varepsilon0l(f'(z)-1r)
E
f'(z) =ddzraizz^2+R^2 =zraizz^2+R^2

Passo 4

Substituindo f'(z) na derivada de V, obtemos
dVdz =sigma2varepsilon0l(zraizz^2+R^2-1r)
Logo o campo é
E(z)=-dVdz =sigma2varepsilon0l(1-zraizz^2+R^2r)

Resposta

E=sigma2 varepsilon0l(1-zraizR^2+z^2r)

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