Utilize a equação geral de ondas, para provar que o princípio da superposição é também válido para ondas em uma corda.
Passo 1
O enunciado pede para usar a equação de ondas numa corda e mostrar que, se duas funções
e
satisfazem essa equação, então a soma delas também satisfaz. O conteúdo é o PDE linear conhecido como equação de ondas unidimensional:
onde
é a velocidade de propagação na corda.
Passo 2
Definimos o operador linear
atuando em uma função
por
A equação de ondas é simplesmente
. Note que
é linear, pois para quaisquer funções
e
e escalares
vale
Passo 3
Suponha que
e
são soluções da equação de ondas, ou seja,
Passo 4
Pela linearidade de
,
Isso mostra que
também satisfaz
, ou seja, é solução da equação de ondas.
Passo 5
Como a mesma argumentação vale para qualquer combinação linear
, concluímos que qualquer soma (ou múltiplo) de soluções da equação de ondas é também solução. Esse é exatamente o princípio da superposição para ondas em uma corda.
Resposta
O princípio da superposição vale porque a equação de ondas na corda é linear e homogênea, logo somas e múltiplos de soluções continuam sendo soluções.