Utilize a equação geral de ondas, para provar que o princípio da superposição é também válido para ondas em uma corda.

Passo 1

O enunciado pede para usar a equação de ondas numa corda e mostrar que, se duas funções y1(x,t) e y2(x,t) satisfazem essa equação, então a soma delas também satisfaz. O conteúdo é o PDE linear conhecido como equação de ondas unidimensional:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2,partial^2 ypartial t^2,
onde v é a velocidade de propagação na corda.

Passo 2

Definimos o operador linear L atuando em uma função y(x,t) por
L[y] = partial^2 ypartial x^2 - 1v^2,partial^2 ypartial t^2
A equação de ondas é simplesmente L[y]=0. Note que L é linear, pois para quaisquer funções f e g e escalares alpha,beta vale
L[alpha f + beta g] =alpha,L[f]+beta,L[g]

Passo 3

Suponha que y1(x,t) e y2(x,t) são soluções da equação de ondas, ou seja,
L[y1]=0 e L[y2]=0

Passo 4

Pela linearidade de L,
L[y1+y2] =L[y1]+L[y2] =0+0 =0
Isso mostra que y=y1+y2 também satisfaz L[y]=0, ou seja, é solução da equação de ondas.

Passo 5

Como a mesma argumentação vale para qualquer combinação linear alpha y1+beta y2, concluímos que qualquer soma (ou múltiplo) de soluções da equação de ondas é também solução. Esse é exatamente o princípio da superposição para ondas em uma corda.

Resposta

O princípio da superposição vale porque a equação de ondas na corda é linear e homogênea, logo somas e múltiplos de soluções continuam sendo soluções.

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