Seja
o potencial elétrico de uma carga pontual. Mostre que
em todos os pontos
, exceto na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá o potencial elétrico de uma carga pontual, que é
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o Laplaciano desse potencial, ou seja,
, é igual a zero em todos os pontos
, exceto na origem.
Para resolver isso, precisamos entender o que é o Laplaciano e como calculá-lo para funções que dependem apenas da distância
. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em torno de um ponto específico. No caso de funções que dependem só de
, podemos usar a forma simplificada do Laplaciano em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de
:
Isso significa que precisamos calcular a derivada primeira de
em relação a
, multiplicar por
, derivar novamente em relação a
, e então dividir por
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Agora, multiplicamos essa derivada por
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada dessa expressão em relação a
:
Isso porque
é uma constante em relação a
.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do Laplaciano que vimos no Passo 2:
Resposta
Portanto, mostramos que
em todos os pontos
, exceto na origem.