Seja varphi(r)=k Q / r o potencial elétrico de uma carga pontual. Mostre que
nabla^2[varphi(r)]=0
em todos os pontos r, exceto na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá o potencial elétrico de uma carga pontual, que é varphi(r) = k Qr. Nosso objetivo aqui é mostrar que o Laplaciano desse potencial, ou seja, nabla^2[varphi(r)], é igual a zero em todos os pontos r, exceto na origem.
Para resolver isso, precisamos entender o que é o Laplaciano e como calculá-lo para funções que dependem apenas da distância r. O Laplaciano é uma operação matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta em torno de um ponto específico. No caso de funções que dependem só de r, podemos usar a forma simplificada do Laplaciano em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de r:
nabla^2 varphi(r) = 1r^2 ddr ( r^2 dvarphidr )
Isso significa que precisamos calcular a derivada primeira de varphi(r) em relação a r, multiplicar por r^2, derivar novamente em relação a r, e então dividir por r^2.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de varphi(r):
dvarphidr = ddr ( k Qr ) = -k Qr^2
Agora, multiplicamos essa derivada por r^2:
r^2 dvarphidr = r^2 ( -k Qr^2 ) = -k Q

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada dessa expressão em relação a r:
ddr ( -k Q ) = 0
Isso porque -k Q é uma constante em relação a r.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do Laplaciano que vimos no Passo 2:
nabla^2 varphi(r) = 1r^2 times 0 = 0

Resposta

Portanto, mostramos que nabla^2[varphi(r)] = 0 em todos os pontos r, exceto na origem.

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