(Aplicações de Matrizes) Matrizes são usadas para organizar dados.
(a) Crie uma matriz para descrever suas notas da primeira e segunda VA em disciplinas cursadas no semestre anterior. As linhas representam disciplinas, e as colunas, as unidades. Determine a ordem de .
(b) Tente encontrar uma matriz de modo que resulte em uma matriz que contenha as médias das disciplinas cursadas. Explique como a multiplicação de matrizes permite calcular essas médias.
(c) Construa uma matriz que indique as disciplinas em que você foi aprovado por média (1) e aquelas em que precisou de 3VA (0).
Discuta a importância de matrizes para organizar e processar informações acadêmicas.
2. (Processamento de Sinais) Filtros de imagem utilizam matrizes. Uma engenheira eletrônica está trabalhando com uma imagem digital de pixels e deseja aplicar um filtro passa-baixa usando a matriz de convolução:
Calcule a matriz filtrada aplicando a convolução. Explique como esse filtro suaviza a imagem e por que esse tipo de operação é útil no processamento de imagens digitais.
3. (Análise de Materiais) Matrizes representam propriedades de materiais. Um engenheiro de materiais está desenvolvendo um compósito constituído por dois materiais diferentes: fibra de carbono e resina epóxi. As propriedades de tensão e deformação variam em duas direções principais: longitudinal e transversal. A matriz de rigidez do material composto nas duas direções é dada por:
C=[cc EL & nuL T ET nuT L EL & ET ]
Onde:
EL é o módulo de elasticidade longitudinal,
ET é o módulo de elasticidade transversal,
nuL T e nuT L são os coeficientes de Poisson.
Usando EL=150 GPa, ET=10 GPa, nuL T=0.25, e nuT L=0.4, determine a matriz de rigidez do compósito. Aplique uma carga longitudinal e transversal ( sigmaL=50 MPa e sigmaT=20 MPa ) e calcule as deformações resultantes. Discuta a importância dessas propriedades para o projeto de estruturas e componentes.
4. (Análise Estrutural) Sistemas lineares modelam forças em pontes. Uma engenheira civil está projetando uma pequena ponte suspensa com 3 cabos principais conectados a dois suportes. As forças F1, F2, e F3 atuam sobre os cabos de maneira equilibrada, e o sistema de forças no suporte é descrito pelo sistema de equações:
Determine F1, F2, F3 de modo que o sistema esteja em equilíbrio. Explique como essas forças afetam a estabilidade da ponte e a importância de resolver esses sistemas para garantir a segurança.
5. (Cinemática Robótica) Equações lineares descrevem a posição de robôs. Uma engenheira mecânica está projetando um braço robótico com duas juntas. Os segmentos têm comprimento L1=2 m e L2=1.5 m. A posição da garra é descrita pelas equações:
& x=L1 cos (theta1)+L2 cos (theta1+theta2) & y=L1 sin (theta1)+L2 sin (theta1+theta2)
Com theta1=30^circ e theta2=45^circ, determine a posição final da garra. Discuta como ajustar os ângulos theta1 e theta2 afeta o alcance e a precisão do braço robótico.
6. (Sistemas de Segurança) Matrizes são usadas em sistemas de segurança. Em um aeroporto internacional, um sistema de segurança foi implementado para detectar passageiros em situação irregular. Cada passageiro que passa por este aeroporto é identificado com um código de doze dígitos. Ao ter sido alvo de alguma irregularidade anterior, o passageiro recebe uma nova identificação numérica no sistema, onde:
O primeiro dígito indica o tipo de irregularidade registrada no banco de dados do aeroporto;
O segundo dígito indica a origem do passageiro;
O terceiro dígito refere-se ao tipo de irregularidade cometida anteriormente.
e os demais são gerados aleatoriamente. No momento do check-in, realiza-se automaticamente o produto matricial X Y, onde:
X é uma matriz 3 times 1, formada pelos três primeiros dígitos do código do(a) passageiro(a);
Y=[1,1,-1] é uma matriz linha 1 times 3.
Se o resultado do produto X Y for zero, o(a) passageiro(a) é identificado(a) como possível alvo de investigação adicional. Determine os valores da matriz X que indicam que o(a) passageiro(a) deve ser investigado(a). Discuta a importância desse sistema para aumentar a segurança em aeroportos.
7. (Computação Gráfica) Matrizes transformam imagens. Na atualidade, a maioria das pessoas dispõe de smartphones que possuem câmeras para registrar fotos (como selfies), vídeos curtos e longos, além de registros de terceiros, etc. Com a intensa utilização das redes sociais, muitas vezes é necessário realizar ajustes nesses registros - como rotacionar, redimensionar, cortar, entre outros. Atualmente, esses processos levam poucos minutos ou até segundos, dependendo da tarefa. Mas será que sempre foi assim? Uma das grandes aplicações da Álgebra Linear está na computação gráfica, permitindo a manipulação eficiente de imagens e vídeos. A seguir, encontre soluções para problemas desta natureza utilizando operações básicas com matrizes:
(a) Rotação de Imagem: Suponha que você tenha uma imagem representada por um conjunto de pontos em um plano 2D. Para rotacionar essa imagem em 90 graus no sentido horário, determine a matriz de rotação e aplique-a no ponto P=(x, y) da imagem. Encontre a nova posição P^prime=(x^prime, y^prime) após a rotação.
(b) Redimensionamento de Imagem: O redimensionamento de uma imagem pode ser visto como uma operação de escala em um espaço vetorial. Dado um fator de escala s, construa a matriz de transformação que, aplicada ao ponto P=(x, y), retorna o novo ponto P^prime correspondente à imagem redimensionada.
(c) Reflexão de Imagem: Um reflexo horizontal inverte as coordenadas de uma imagem ao longo do eixo vertical (ou seja, troca os valores de x de cada ponto P=(x, y) da imagem). Encontre a matriz que descreve essa transformação e aplique-a a um ponto da imagem.
Discuta como essas transformações são usadas em softwares de edição de imagem e vídeo.
8. (Matrizes Booleanas) Matrizes booleanas representam situações com dois estados. Uma matriz é dita do tipo Booleana se suas entradas ai j forem iguais a 1 ou 0. Estas matrizes são aplicadas computacionalmente para descrever situações em que pretende-se analisar objetos que assumem apenas duas possibilidades de estados. Vejamos alguns exemplos a seguir.
(a) Sejam A1, A2, A3 três aeroportos brasileiros interligados por meio de vôos diretos ou por meio de voos com escala. A matriz a seguir mostra como estes aeroportos estão interligados, onde o valor 1 representa voos diretos e 0 voos com escala.
V=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 )
O elemento ai j representa vôos que saem de Ai e chegam em Aj. Quais rotas podem ser feitas apenas com vôos diretos?
(b) A matriz V^2 representa que tipo de situação em termos de conexão entre os aeroportos?
Discuta outras aplicações de matrizes booleanas em ciência da computação e áreas afins.
Passo 1
O enunciado apresenta diversas aplicações de matrizes em engenharia e áreas afins, incluindo: organização de notas, processamento de imagens (convolução), análise de propriedades de materiais (matriz de rigidez), resolução de sistemas lineares em análise estrutural, cinemática de robôs, detecção de passageiros em aeroportos via produto matricial, transformações em computação gráfica e matrizes booleanas em roteamento de voos. Para resolver cada caso, usaremos operações básicas de álgebra linear: definição de matrizes, multiplicação, inversão, solução de sistemas lineares, manipulação de vetores e interpretação de produtos booleanos.
Passo 2
Para o problema de notas:
(a) Suponha que você cursou três disciplinas com notas nas duas VAs, e anote essas notas em
onde cada linha é uma disciplina e cada coluna uma VA. A ordem de
que é . Então
contém as médias. A multiplicação de matrizes permite acumular linearmente cada linha de para calcular a média.
(c) Defina o vetor binário de aprovação
á
com limite de aprovação ). Então
indica onde foi aprovado () ou precisou de VA (). Matriz e vetores organizam e processam eficientemente informações acadêmicas.
Passo 3
No processamento de imagens, a convolução de uma imagem I de 3times3 por
F = 191&1&11&1&11&1&1
suaviza (“blurs”) a imagem ao substituir cada pixel pela média de sua vizinhança 3times3. Usando zero-padding, a matriz filtrada O é dada por
O(i,j)=sumu=-1^1sumv=-1^1 Fu+2,v+2,Ii+u,j+v
Calculando todos os elementos (com arredondamento a duas casas decimais), obtemos
Isso mostra a deformação longitudinal e transversal. Conhecer C é vital no projeto de estruturas.]
Passo 5
Em análise estrutural, temos o sistema
F1+F2+F3=0, 2F1+F2-F3=100, F1-F2+3F3=150,
com Fi em kN. De F3=-F1-F2 e substituindo, obtemos
3F1+2F2=100, -2F1-4F2=150,
cuja solução é
F1=87,5, F2=-81,25, F3=-6,25kN
Resolver esses sistemas garante segurança e estabilidade da ponte.
Passo 6
Para a cinemática robótica, com
Alterar (\theta_1,\theta_2] muda alcance e precisão do braço.
Passo 7
No sistema de segurança do aeroporto, X é 3times1 com os três dígitos iniciais e Y=(1,1,-1) é 1times3. Se o produto X^ T Y=0, então
x1+x2-x3=0
Portanto qualquer tripla (x1,x2,x3) que satisfaça essa equação indicará passageiro para investigação. Esse sistema automatiza triagem e aumenta a segurança.
Passo 8
Em computação gráfica:
(a) Rotação de 90^circ no sentido horário usa
R=0&1-1&0,
então P'=(0;1;-1;0),(x,y)^ T=(y,-x)^ T.
(b) Escala por s:
S=s&00&s,
então (x,y)mapsto(sx,sy).
(c) Reflexão horizontal (sobre o eixo y):
H=-1&00&1,
que envia (x,y)to(-x,y). Esses operadores são básicos em editores de imagem.
Passo 9
Para matrizes booleanas de aeroportos, com
V= 1&0&1 0&1&1 1&0&1 ,
os voos diretos são onde Vij=1: de A1to A1,A3; A2to A2,A3; A3to A1,A3. A matriz V^2 (produto booleano) satisfaz
(V^2)ij=veek,(Vikland Vkj),
resultando em
V^2= 1&0&1 1&1&1 1&0&1 ,
que indica conexões com até uma escala. Matrizes booleanas são fundamentais em redes e computação.
Resposta
Segue o conjunto de soluções para os oito problemas, mostrando como matrizes organizam e processam informações em diversas aplicações de engenharia e computação.