Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação?

Passo 1

O enunciado diz que, em uma criação de aves, do 1º ao 8º dia o número de aves que adoecem dobra a cada dia, começando com uma ave no primeiro dia e chegando ao ponto em que todas as aves estão doentes no 8º dia. O conteúdo envolvido é progressão geométrica (PG) e soma dos termos de uma PG finita.

Passo 2

Identificamos que o número de aves doentes em cada dia forma uma PG com primeiro termo a1 = 1 e razão q = 2, pois no dia n adoecem an = 2^n-1 aves. Como o processo vai até o 8º dia, temos n = 8 termos.

Passo 3

Para encontrar o total de aves adoecidas, usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sn = a1 q^n - 1q - 1
Substituindo a1 = 1, q = 2 e n = 8:

Passo 4

Calculamos 2^8 = 256, então
S8 = 1 cdot 256 - 12 - 1 = 2551 = 255
Portanto, ao final do oitavo dia todas as aves adoeceram, num total de 255 aves.

Resposta

255 aves

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