O primeiro termo de uma P.G. é 5 raiz2, a razão é raiz2 e o último termo é 80 . Calcule:
a) Quantos termos têm essa P.G.;
b) O seu quinto termo.

Passo 1

O problema trata de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a1 = 5raiz2, a razão é r = raiz2 e o último termo dado é an = 80. Vamos usar a fórmula do termo geral de uma P.G.: an = a1 ;r^n-1.

Passo 2

Para achar o número de termos n, igualamos an = 80 à fórmula geral:
80 = 5raiz2 ; (raiz2)^n-1
Dividindo ambos os lados por 5raiz2:
(raiz2)^n-1 = 805raiz2 = 16raiz2 = 8raiz2
Escrevendo em potências de 2:
(raiz2)^n-1 = 2^(n-1)/2,
8raiz2 = 2^3 cdot 2^1/2 = 2^7/2
Comparando expoentes: (n-1)/2 = 7/2 leva a n-1 = 7 e, portanto, n = 8.

Passo 3

Para encontrar o quinto termo a5, usamos novamente ak = a1 r^k-1 com k=5:
a5 = 5raiz2 ;(raiz2)^5-1 = 5raiz2 ;(raiz2)^4 = 5raiz2 ;2^2 = 5raiz2 ;4 = 20raiz2

Resposta

a) 8 termos; b) 20raiz2

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