Numa praia, a areia contém 80 % de areia insolúvel, 15 % de sal e 5 % de água. Quer-se efetuar uma extração de 1000 Kg desta mistura de modo que, depois da secagem, ela contenha somente 0,4 % de sal. Quantas lavagens, com partidas de 1000 Kg de água pura, são necessárias para levar à pureza desejada? A areia retém 0,5 Kg de água por quilograma de areia insolúvel.
(2 pontos)

Passo 1

O enunciado trata de uma mistura inicial de areia contendo 80% de areia insolúvel, 15% de sal e 5% de água, com massa total de 1000,kg. Queremos fazer sucessivas lavagens usando 1000,kg de água pura por lavagem, sabendo que a areia retém 0,5 kg de água por quilo de areia insolúvel, de modo que, após secagem, o resíduo tenha somente 0,4% de sal. O conteúdo principal aqui é o modelo de extração por diluição sucessiva, que gera uma série geométrica para a massa de sal remanescente.

Passo 2

Calculemos as massas iniciais na mistura de 1000,kg:
areia insolúvel = 0,80times1000 = 800 kg, sal = 0,15times1000 = 150 kg, água livre = 0,05times1000 = 50 kg úá
Em cada lavagem adicionamos 1000,kg de água pura ao sistema. Antes da drenagem há 400 kg de água retida na areia ( 0,5,kg por kg de areia insolúvel, ou seja, 0,5times800) e 1000 kg de água recém-injetada, totalizando 1400 kg de água em que o sal está dissolvido. Ao drenar, a areia retém 400 kg de água e escoa 1000 kg de água livre, removendo, portanto, uma fração de
10001400 = 57
do sal solúvel. Logo, sobra uma fração
4001400 = 27
do sal em cada ciclo.

Passo 3

Seja Sn a massa de sal após n lavagens. Temos a relação de recorrência
Sn = Sn-1times27,
com S0 = 150 kg. Portanto
Sn = 150(27)^n
Depois da última lavagem e secagem completa (remoção de toda água), a massa total seca é
800 + Sn,
e queremos que a fração de sal seja 0,4%, ou seja
Sn800 + Sn = 0,004
Resolvendo:
Sn = 0,004,(800 + Sn) Longrightarrow 0,996,Sn = 3,2 Longrightarrow Snapprox3,21285 kg
Impondo 150,(2/7)^n <= 3,21285 e tomando logaritmo,
n >= lnl(3,21285/150r)ln(2/7)approx3,06

Passo 4

Como n deve ser inteiro e satisfazer n>=3,06, tomamos n=4. Logo, são necessárias 4 lavagens.

Resposta

4 lavagens.

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