Numa praia, a areia contém
de areia insolúvel,
de sal e
de água. Quer-se efetuar uma extração de 1000 Kg desta mistura de modo que, depois da secagem, ela contenha somente
de sal. Quantas lavagens, com partidas de 1000 Kg de água pura, são necessárias para levar à pureza desejada? A areia retém
de água por quilograma de areia insolúvel.
(2 pontos)
(2 pontos)
Passo 1
O enunciado trata de uma mistura inicial de areia contendo
de areia insolúvel,
de sal e
de água, com massa total de
,kg. Queremos fazer sucessivas lavagens usando
,kg de água pura por lavagem, sabendo que a areia retém
kg de água por quilo de areia insolúvel, de modo que, após secagem, o resíduo tenha somente
de sal. O conteúdo principal aqui é o modelo de extração por diluição sucessiva, que gera uma série geométrica para a massa de sal remanescente.
Passo 2
Calculemos as massas iniciais na mistura de
,kg:
Em cada lavagem adicionamos
,kg de água pura ao sistema. Antes da drenagem há
kg de água retida na areia (
,kg por kg de areia insolúvel, ou seja,
) e
kg de água recém-injetada, totalizando
kg de água em que o sal está dissolvido. Ao drenar, a areia retém
kg de água e escoa
kg de água livre, removendo, portanto, uma fração de
do sal solúvel. Logo, sobra uma fração
do sal em cada ciclo.
Passo 3
Seja
a massa de sal após
lavagens. Temos a relação de recorrência
com
kg. Portanto
Depois da última lavagem e secagem completa (remoção de toda água), a massa total seca é
e queremos que a fração de sal seja
, ou seja
Resolvendo:
Impondo
e tomando logaritmo,
Passo 4
Como
deve ser inteiro e satisfazer
, tomamos
. Logo, são necessárias
lavagens.