Uma prancha flutuante suporta dois técnicos: 70 kg a 2 m da ponta esquerda e 90 kg a 5 m . A prancha tem 6 m . Determine o centro de massa total.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo medido a partir da ponta esquerda da prancha):
  • Técnico 1: massa m_1=70\\ \text{kg} localizado em x_1=2\\ \text{m}.
  • Técnico 2: massa m_2=90\\ \text{kg} localizado em x_2=5\\ \text{m}.
  • Comprimento da prancha: 6\\ \text{m}.
O que o problema pede: determinar o centro de massa total do sistema (prancha + técnicos). Como a massa da prancha não foi informada, vou assumir que só os dois técnicos contribuem para o centro de massa (isto é, prancha de massa desprezível).

Passo 2

Fórmula que vamos usar: para um sistema de massas pontuais, o centro de massa na direção x é dado por
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i}.
Explicando a fórmula devagar e sem mistério:
  • m_i é a massa do i-ésimo corpo (aqui m_1 e m_2).
  • x_i é a posição do i-ésimo corpo em relação à origem escolhida (aqui a ponta esquerda).
  • O numerador \sum_i m_i x_i soma cada massa multiplicada pela sua posição; isso é chamado de momento estático em relação à origem.
  • O denominador \sum_i m_i é a massa total do sistema.
    Intuição: o centro de massa é uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas — posições de massas maiores puxam mais o centro de massa para perto delas.
Exemplo rápido para fixar: duas massas iguais de 1\\ \text{kg} em x=0 e x=2\\ \text{m} têm
x_{\text{cm}}=\frac{1\cdot0+1\cdot2}{1+1}=\frac{2}{2}=1\\ \text{m},
ou seja, o ponto médio — faz sentido.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com duas massas:
x_{\text{cm}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}.
Substituindo os números:
m_1 x_1 = 70\cdot2 = 140\\ \text{kg}\cdot\text{m},
m_2 x_2 = 90\cdot5 = 450\\ \text{kg}\cdot\text{m}.

Passo 4

Somando os momentos e as massas:
\text{momento total} = 140 + 450 = 590\\ \text{kg}\cdot\text{m},
\text{massa total} = 70 + 90 = 160\\ \text{kg}.
Portanto
x_{\text{cm}}=\frac{590}{160}=\frac{59}{16}\\ \text{m}.
Convertendo para decimal (sem calculadora: \dfrac{59}{16}=3+\dfrac{11}{16} e \dfrac{11}{16}=0{,}6875):
x_{\text{cm}}=3{,}6875\\ \text{m}.

Passo 5

Interpretação final e cheque rápido:
  • O centro de massa fica a 3{,}6875\\ \text{m} da ponta esquerda, isto é, deslocado para a direita do centro geométrico da prancha (o centro geométrico está em 3{,}0\\ \text{m}). Isso faz sentido porque o técnico mais pesado está mais à direita.
  • O valor está dentro da prancha de 6\\ \text{m}, então fisicamente faz sentido.

Resposta

x_{\text{cm}}=\dfrac{59}{16}\\ \text{m}\approx3{,}6875\\ \text{m} a partir da ponta esquerda.

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