Uma prancha flutuante suporta dois técnicos: 70 kg a 2 m da ponta esquerda e 90 kg a 5 m . A prancha tem 6 m . Determine o centro de massa total.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo medido a partir da ponta esquerda da prancha):
- Técnico 1: massa
localizado em . - Técnico 2: massa
localizado em . - Comprimento da prancha:
.
O que o problema pede: determinar o centro de massa total do sistema (prancha + técnicos). Como a massa da prancha não foi informada, vou assumir que só os dois técnicos contribuem para o centro de massa (isto é, prancha de massa desprezível).
Passo 2
Fórmula que vamos usar: para um sistema de massas pontuais, o centro de massa na direção
é dado por
Explicando a fórmula devagar e sem mistério:
-
é a massa do i-ésimo corpo (aqui e ). -
é a posição do i-ésimo corpo em relação à origem escolhida (aqui a ponta esquerda). - O numerador
soma cada massa multiplicada pela sua posição; isso é chamado de momento estático em relação à origem. - O denominador
é a massa total do sistema.
Intuição: o centro de massa é uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas — posições de massas maiores puxam mais o centro de massa para perto delas.
Exemplo rápido para fixar: duas massas iguais de
em
e
têm
ou seja, o ponto médio — faz sentido.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com duas massas:
Substituindo os números:
Passo 4
Somando os momentos e as massas:
Portanto
Convertendo para decimal (sem calculadora:
e
):
Passo 5
Interpretação final e cheque rápido:
- O centro de massa fica a
da ponta esquerda, isto é, deslocado para a direita do centro geométrico da prancha (o centro geométrico está em ). Isso faz sentido porque o técnico mais pesado está mais à direita. - O valor está dentro da prancha de
, então fisicamente faz sentido.