Em uma balsa, duas cargas são movidas: m_{1}=300 \mathrm{~kg} deslocada 2 m para direita, m_{2}=200 \mathrm{~kg} deslocada 3 m para esquerda. Determine o deslocamento do centro de massa da balsa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • Duas cargas sobre a balsa com massas m_1=300\\ \mathrm{kg} e m_2=200\\ \mathrm{kg}.
  • A carga m_1 é deslocada 2\\ \mathrm{m} para a direita.
  • A carga m_2 é deslocada 3\\ \mathrm{m} para a esquerda.
  • O que se pede: determinar o deslocamento do centro de massa da balsa (isto é, o deslocamento do centro de massa do sistema envolvendo as cargas e a balsa).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): o centro de massa de um sistema de partículas (ou de um conjunto de massas) tem a posição
X_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_i m_i x_i}{\sum_i m_i},
onde:
  • \,m_i é a massa da i-ésima parte do sistema,
  • \,x_i é a coordenada (posição) dessa massa numa linha (aqui consideramos movimento somente na horizontal),
  • a soma no denominador é a massa total do sistema.
Importante: se não há forças externas horizontais atuando sobre o conjunto, a posição do centro de massa do sistema não muda com o tempo — isto é, o centro de massa é conservado (permanece fixo). Esse é um princípio bem usado em problemas com pessoas andando numa balsa: movimentos internos não deslocam o CM do sistema como um todo.

Passo 3

Agora vamos falar sobre deslocamentos (em vez de posições absolutas). Se cada massa sofre um deslocamento \Delta x_i, a variação da posição do centro de massa do sistema é
\Delta X_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M_{\mathrm{tot}}}\sum_i m_i\,\Delta x_i,
onde \,M_{\mathrm{tot}}=\sum_i m_i é a massa total do sistema. Essa fórmula vem direto de subtrair as expressões de X_{\mathrm{cm}} antes e depois dos deslocamentos e usar que as massas não mudam.
Se considerarmos todo o sistema (balsa + cargas) e não houver força externa horizontal, então a lei física diz que \Delta X_{\mathrm{cm}}=0. Mas mesmo sem invocar a massa da balsa, dá para calcular a soma ponderada dos deslocamentos das cargas e ver se há efeito líquido.

Passo 4

Escolhe uma convenção de sinais (super importante): tomo deslocamentos para a direita como positivos e para a esquerda como negativos. Assim:
\Delta x_1 = +2\\ \mathrm{m},\qquad \Delta x_2 = -3\\ \mathrm{m}.
Calculo a soma ponderada das cargas (só elas, por ora):
m_1\Delta x_1 + m_2\Delta x_2 = 300\cdot(+2)+200\cdot(-3).
Faço as contas passo a passo:
300\cdot2 = 600, \qquad 200\cdot3 = 600,
e portanto
m_1\Delta x_1 + m_2\Delta x_2 = 600 - 600 = 0.

Passo 5

Interpretação limpa do resultado do passo anterior:
  • A soma ponderada dos deslocamentos das duas cargas deu zero.
  • Pela fórmula da variação do centro de massa,
\Delta X_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1\Delta x_1 + m_2\Delta x_2 + M_{\mathrm{balsa}}\Delta x_{\mathrm{balsa}}}{M_{\mathrm{tot}}},
mas se considerarmos o sistema completo isolado (balsa + cargas) e houver apenas movimentos internos, a posição do centro de massa do sistema não muda, então a variação total \Delta X_{\mathrm{cm}}=0. Além disso, como já vimos, a contribuição das duas cargas isoladamente é zero ( m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2=0), o que implica que não é necessário saber a massa da balsa: o centro de massa do sistema não se desloca.
  • Consequência direta e simples: o deslocamento do centro de massa da balsa (do sistema) é zero.

Passo 6

Resumo didático e intuitivo: as duas cargas se moveram em sentidos opostos com magnitudes que, quando ponderadas pelas massas, se cancelaram exatamente ( 300\cdot2=200\cdot3). Isso gera nenhum deslocamento líquido do centro de massa do conjunto. É como se uma “força” de empurrão para a direita e outra de igual “momento” para a esquerda se anulassem — o centro de massa fica onde estava. Você não precisou conhecer a massa da balsa para concluir isso, porque a parte móvel (as cargas) já compensou.

Resposta

0\\ \mathrm{m}

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