Um conjunto de três esferas conectadas por cabos forma um triângulo. As massas são 4 \mathrm{~kg}, 6 \mathrm{~kg} e 8 kg . Suas coordenadas sāo (0,0),(3,0) e (3,4). Determine o centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro de massa do sistema formado por três esferas pontuais (ou massas concentradas) com as massas e coordenadas dadas.
Informações fornecidas:
  • Massa m_1 = 4\\ \mathrm{kg} na posição (x_1,y_1) = (0,0).
  • Massa m_2 = 6\\ \mathrm{kg} na posição (x_2,y_2) = (3,0).
  • Massa m_3 = 8\\ \mathrm{kg} na posição (x_3,y_3) = (3,4).
O que se pede: encontrar as coordenadas (x_{\text{cm}},y_{\text{cm}}) do centro de massa do sistema.

Passo 2

Conceito e fórmula (explicação passo a passo, do tipo que cai na prova):
  • Intuição: o centro de massa é o ponto médio “pesado” do sistema — as posições são combinadas dando mais peso às massas maiores. É uma média ponderada das coordenadas. Em cada coordenada (eixo x e eixo y) calcula-se uma média ponderada separadamente.
  • Fórmulas (para um conjunto discreto de massas):
x_{\text{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i}, \qquad y_{\text{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i y_i}{\sum_{i} m_i}.
Aqui:
  • m_i é a massa do i-ésimo ponto,
  • x_i e y_i são as coordenadas do i-ésimo ponto,
  • a soma no numerador é a soma dos produtos massa×coordenada,
  • o denominador é a massa total M=\sum_i m_i.
Dica prática para a prova: calcule primeiro a massa total, depois faça separadamente a soma ponderada em x e em y. Não confunda somas.

Passo 3

Calcular a massa total:
M=\sum_i m_i = m_1+m_2+m_3 = 4+6+8.
Fazendo a conta:
M = 18\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular x_{\text{cm}}. Primeiro o numerador:
\sum_i m_i x_i = m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 = 4\cdot 0 + 6\cdot 3 + 8\cdot 3.
Fazendo as multiplicações:
4\cdot 0 = 0,\qquad 6\cdot 3 = 18,\qquad 8\cdot 3 = 24.
Somando:
\sum_i m_i x_i = 0 + 18 + 24 = 42.
Agora aplicando a fórmula:
x_{\text{cm}}=\frac{42}{18}.
Simplificando a fração dividindo por 6:
x_{\text{cm}}=\frac{7}{3}\approx 2,333\\ (\text{unidades de comprimento}).

Passo 5

Calcular y_{\text{cm}}. Numerador:
\sum_i m_i y_i = m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 = 4\cdot 0 + 6\cdot 0 + 8\cdot 4.
Fazendo as multiplicações:
4\cdot 0 = 0,\qquad 6\cdot 0 = 0,\qquad 8\cdot 4 = 32.
Somando:
\sum_i m_i y_i = 0 + 0 + 32 = 32.
Aplicando a fórmula:
y_{\text{cm}}=\frac{32}{18}.
Simplificando dividindo por 2:
y_{\text{cm}}=\frac{16}{9}\approx 1,778\\ (\text{unidades de comprimento}).

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas (úteis na prova):
  • O centro de massa ficou em \left(\dfrac{7}{3},\dfrac{16}{9}\right).
  • Verificação rápida de coerência: a abscissa x_{\text{cm}} \approx 2,333 está entre os x dados (entre 0 e 3) e a ordenada y_{\text{cm}} \approx 1,778 está entre os y dados (entre 0 e 4), então faz sentido físico (ponto dentro do triângulo formado pelas massas).
  • A razão para o centro de massa ficar mais próximo de (3,4) do que de (0,0) é que a massa 8\\ \mathrm{kg} é a maior; a média ponderada puxa o centro na direção da massa maior.

Resposta

\left(\dfrac{7}{3},\dfrac{16}{9}\right)

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