Um conjunto de três esferas conectadas por cabos forma um triângulo. As massas são
e 8 kg . Suas coordenadas sāo
e
. Determine o centro de massa.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o centro de massa do sistema formado por três esferas pontuais (ou massas concentradas) com as massas e coordenadas dadas.
Informações fornecidas:
- Massa
na posição . - Massa
na posição . - Massa
na posição .
O que se pede: encontrar as coordenadas
do centro de massa do sistema.
Passo 2
Conceito e fórmula (explicação passo a passo, do tipo que cai na prova):
-
Intuição: o centro de massa é o ponto médio “pesado” do sistema — as posições são combinadas dando mais peso às massas maiores. É uma média ponderada das coordenadas. Em cada coordenada (eixo
e eixo ) calcula-se uma média ponderada separadamente. -
Fórmulas (para um conjunto discreto de massas):
Aqui:
-
é a massa do -ésimo ponto, -
e são as coordenadas do -ésimo ponto, - a soma no numerador é a soma dos produtos massa×coordenada,
- o denominador é a massa total
.
Dica prática para a prova: calcule primeiro a massa total, depois faça separadamente a soma ponderada em
e em
. Não confunda somas.
Passo 3
Calcular a massa total:
Fazendo a conta:
Passo 4
Calcular
. Primeiro o numerador:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Agora aplicando a fórmula:
Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 5
Calcular
. Numerador:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando dividindo por
:
Passo 6
Interpretação final e checagens rápidas (úteis na prova):
- O centro de massa ficou em
. - Verificação rápida de coerência: a abscissa
está entre os dados (entre e ) e a ordenada está entre os dados (entre e ), então faz sentido físico (ponto dentro do triângulo formado pelas massas). - A razão para o centro de massa ficar mais próximo de
do que de é que a massa é a maior; a média ponderada puxa o centro na direção da massa maior.