(a) Derive implicitamente a curva
x^{2} y^{2}+x y=2
(b) Encontre os pontos da curva onde a inclinação é -1 .

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}y^{2}+xy=2
e pede duas coisas:
(a) derivar implicitamente a curva, ou seja, encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx};
(b) encontrar os pontos da curva onde a inclinação (a derivada) vale -1.
Informações relevantes dadas: a relação entre x e y é a equação acima; y é uma função implícita de x (ou seja, y=y(x)), então ao derivar precisamos usar regra do produto e regra da cadeia sempre que aparecer y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembretes importantes (vou explicar de forma bem clara):
  • Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), então \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia: se v(x)= [w(x)]^{2} e w(x)=y(x), então \dfrac{d}{dx}w^{2}=2w\cdot w' = 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}.
    Aqui trataremos y como y(x), então sempre que derivarmos uma expressão com y aparecerá um fator \dfrac{dy}{dx} (que escrevemos como y').

Passo 3

Derivamos termo a termo.
Para \;x^{2}y^{2}\; aplicamos regra do produto com u=x^{2} e v=y^{2}:
\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2}) = (2x)\,y^{2} + x^{2}\,(2y\,y') = 2x y^{2} + 2x^{2}y\,y'.
Para \;xy\; aplicamos regra do produto com u=x e v=y:
\frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
O lado direito \;2\; é constante, então sua derivada é 0.
Portanto, derivando toda a equação obtemos:
2x y^{2} + 2x^{2}y\,y' + y + x y' = 0.

Passo 4

Agora isolamos os termos que contêm y' (que é \dfrac{dy}{dx}):
Colocando os termos com y' juntos e os sem y' do outro lado:
(2x^{2}y + x)\,y' + (2x y^{2} + y) = 0.
Passando o termo sem y' para o outro lado:
(2x^{2}y + x)\,y' = - (2x y^{2} + y).

Passo 5

Agora resolvemos para y' dividindo ambos os lados por (2x^{2}y + x):
y' = \frac{-(2x y^{2} + y)}{2x^{2}y + x}.
Fatorando y no numerador e x no denominador:
y' = \frac{-y(2xy + 1)}{x(2xy + 1)}.
Observamos que o fator (2xy+1) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar desde que esse fator não seja zero nos pontos da curva.

Passo 6

Precisamos verificar se existe algum ponto da curva em que 2xy+1=0 (pois aí a cancelamento seria inválido). Se 2xy+1=0 então xy=-\tfrac{1}{2}. Substituindo isso na equação original:
x^{2}y^{2}+xy = (xy)^{2} + (xy) = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{4},
o que não é igual a 2. Logo não existem pontos da curva com 2xy+1=0. Portanto o cancelamento é seguro para todos os pontos da curva.
Cancelando (2xy+1) obtemos a forma simplificada:
y' = -\frac{y}{x}.
Observação: também é possível verificar que x=0 não pertence à curva porque, se x=0, a equação daria 0+0=2, impossível; logo em todos os pontos válidos temos x\neq 0 e a expressão -y/x é bem definida.

Passo 7

Agora (parte b) queremos os pontos onde a inclinação é -1. Usamos a expressão encontrada:
y' = -\frac{y}{x} = -1.
Isso implica
-\frac{y}{x} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = x.
Substituindo y=x na equação da curva:
x^{2}x^{2} + x x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{4} + x^{2} - 2 = 0.
Faça a substituição t=x^{2}, então
t^{2} + t - 2 = 0.
Fatorando:
(t+2)(t-1)=0,
logo t=1 ou t=-2. Como t=x^{2}\ge 0, descartamos t=-2. Assim x^{2}=1, então x=\pm 1. Como y=x, os pontos são
(1,1)\quad\text{e}\quad(-1,-1).
Verificação rápida: em (1,1) temos 1^{2}\cdot1^{2}+1\cdot1=1+1=2. Em (-1,-1) temos (-1)^{2}(-1)^{2}+(-1)(-1)=1+1=2. Ambos pertencem à curva e em ambos a inclinação é -1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.
(b) (1,1)
(-1,-1)

Exercícios relacionados