(a) Derive implicitamente a curva
(b) Encontre os pontos da curva onde a inclinação é -1 .
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede duas coisas:
(a) derivar implicitamente a curva, ou seja, encontrar ;
(b) encontrar os pontos da curva onde a inclinação (a derivada) vale .
(a) derivar implicitamente a curva, ou seja, encontrar
(b) encontrar os pontos da curva onde a inclinação (a derivada) vale
Informações relevantes dadas: a relação entre
e
é a equação acima;
é uma função implícita de
(ou seja,
), então ao derivar precisamos usar regra do produto e regra da cadeia sempre que aparecer
.
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembretes importantes (vou explicar de forma bem clara):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , então . - Regra da cadeia: se
e , então .
Aqui trataremoscomo , então sempre que derivarmos uma expressão com aparecerá um fator (que escrevemos como ).
Passo 3
Derivamos termo a termo.
Para
aplicamos regra do produto com
e
:
Para
aplicamos regra do produto com
e
:
O lado direito
é constante, então sua derivada é
.
Portanto, derivando toda a equação obtemos:
Passo 4
Agora isolamos os termos que contêm
(que é
):
Colocando os termos com
juntos e os sem
do outro lado:
Passando o termo sem
para o outro lado:
Passo 5
Agora resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Fatorando
no numerador e
no denominador:
Observamos que o fator
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar desde que esse fator não seja zero nos pontos da curva.
Passo 6
Precisamos verificar se existe algum ponto da curva em que
(pois aí a cancelamento seria inválido). Se
então
. Substituindo isso na equação original:
o que não é igual a
. Logo não existem pontos da curva com
. Portanto o cancelamento é seguro para todos os pontos da curva.
Cancelando
obtemos a forma simplificada:
Observação: também é possível verificar que
não pertence à curva porque, se
, a equação daria
, impossível; logo em todos os pontos válidos temos
e a expressão
é bem definida.
Passo 7
Agora (parte b) queremos os pontos onde a inclinação é
. Usamos a expressão encontrada:
Isso implica
Substituindo
na equação da curva:
Faça a substituição
, então
Fatorando:
logo
ou
. Como
, descartamos
. Assim
, então
. Como
, os pontos são
Verificação rápida: em
temos
. Em
temos
. Ambos pertencem à curva e em ambos a inclinação é
.
Resposta
(a)
(b)
(-1,-1)
(b)
(-1,-1)