Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo x, calcule os valores de x onde f^{\prime}(x)=0 e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(a) f(x)=x^{2}-6 x+8,

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=x^{2}-6x+8 e pede três coisas:
  1. As interseções do gráfico com o eixo x (ou seja, os zeros de f).
  2. Os valores de x onde f^{\prime}(x)=0 (pontos críticos).
  3. A tabela de variação (onde f cresce/decresce e se há mínimo/máximo) e, com isso, esboçar o gráfico.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • A função é f(x)=x^{2}-6x+8.
  • É um polinómio de grau 2 (uma parábola).

Passo 2

Vamos encontrar as interseções com o eixo x. Isso exige resolver f(x)=0, ou seja:
x^{2}-6x+8=0.
Duas formas comuns: fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vou mostrar as duas rapidamente.
Fatorando: procuramos dois números cuja soma é -6 e cujo produto é 8. Esses números são -2 e -4. Assim:
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4).
Portanto as raízes são x=2 e x=4, e as interseções com o eixo x são os pontos (2,0) e (4,0).
Verificação com a fórmula (ensino rápido): para ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=-6, c=8, o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot8=36-32=4,
e as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6\pm2}{2},
ou seja x=4 e x=2. Mesmo resultado.
Pequena lição prática: quando a parábola tem coeficiente a=1 e coeficientes inteiros pequenos, verificar fatoração é rápido; se não for óbvio, use discriminante e fórmula.

Passo 3

Agora calculamos a derivada f^{\prime}(x) para achar pontos onde f^{\prime}(x)=0:
A regra básica: derivada de x^{2} é 2x, derivada de -6x é -6, e constante some. Logo
f^{\prime}(x)=2x-6.
Igualando a zero:
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Interpretação: em x=3 a reta tangente ao gráfico tem inclinação zero — é o vértice da parábola (ponto crítico).

Passo 4

Para saber se em x=3 temos mínimo ou máximo, usamos a segunda derivada ou o sinal de f'. A segunda derivada é a derivada de f':
f^{\prime\prime}(x)=2.
Como f^{\prime\prime}(x)=2>0 para todo x, a função é côncava para cima e o ponto crítico em x=3 é um mínimo local (na verdade mínimo global para essa parábola).
Calcule o valor da função no vértice:
f(3)=3^{2}-6\cdot3+8=9-18+8=-1.
Logo o vértice é (3,-1).
Pequena explicação didática:
  • f'(x) indica a taxa de variação: se f'(x)>0 a função sobe (crescente), se f'(x)<0 a função desce (decrescente).
  • Como f'(x)=2x-6, ela muda de sinal em x=3: para x<3, 2x-6<0; para x>3, 2x-6>0.

Passo 5

Montando a tabela de variação (em palavras e valores-chave):
  • Intervalo (-\infty,3): f'(x)<0 f é decrescente.
  • Em x=3: f'(3)=0 e f(3)=-1 → mínimo.
  • Intervalo (3,\infty): f'(x)>0 f é crescente.
    Valores importantes: f(2)=0, f(3)=-1, f(4)=0. Além disso f(0)=8 (interseção com eixo y), e como a=1>0 a parábola abre para cima e \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Um esquema da tabela (texto):
  • x : -\infty \longrightarrow 2 \longrightarrow 3 \longrightarrow 4 \longrightarrow +\infty
  • f'(x) : (negativo) \longrightarrow \dots \longrightarrow 0 \longrightarrow \dots \longrightarrow (positivo)
  • f(x) : descresce até f(3)=-1 (mínimo) e depois cresce; cruza o eixo x em x=2 e x=4.

Passo 6

Esboço do gráfico (descrição para desenhar sem ferramenta):
  • É uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^{2} positivo).
  • Vértice em (3,-1).
  • Eixo de simetria vertical em x=3.
  • Interseções com eixo x: (2,0) e (4,0).
  • Interseção com eixo y: (0,8). Pelo eixo de simetria há outro ponto simétrico (6,8).
  • Para esboçar: marque o vértice baixo em (3,-1), os dois zeros à esquerda e direita ( 2,0 e 4,0), e desenhe uma curva suave que vai para cima à esquerda e à direita, passando por (0,8) e (6,8).

Resposta

Interseções com o eixo x: (2,0) e (4,0).
Valores de x onde f^{\prime}(x)=0: x=3.
Tabela de variação: f é decrescente em (-\infty,3), tem mínimo f(3)=-1 em x=3, e é crescente em (3,\infty).

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