Pras seguintes funções, calcule as interseções dos seus gráficos com o eixo
, calcule os valores de
onde
e faça a tabela de variação. Use essas informações para esbocer o gráfico
(a)
,
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede três coisas:
- As interseções do gráfico com o eixo
(ou seja, os zeros de ). - Os valores de
onde (pontos críticos). - A tabela de variação (onde
cresce/decresce e se há mínimo/máximo) e, com isso, esboçar o gráfico.
Informações relevantes que temos explicitamente:
- A função é
. - É um polinómio de grau
(uma parábola).
Passo 2
Vamos encontrar as interseções com o eixo
. Isso exige resolver
, ou seja:
Duas formas comuns: fatorar ou usar a fórmula quadrática. Vou mostrar as duas rapidamente.
Fatorando: procuramos dois números cuja soma é
e cujo produto é
. Esses números são
e
. Assim:
Portanto as raízes são
e
, e as interseções com o eixo
são os pontos
e
.
Verificação com a fórmula (ensino rápido): para
com
,
,
, o discriminante é
e as raízes são
ou seja
e
. Mesmo resultado.
Pequena lição prática: quando a parábola tem coeficiente
e coeficientes inteiros pequenos, verificar fatoração é rápido; se não for óbvio, use discriminante e fórmula.
Passo 3
Agora calculamos a derivada
para achar pontos onde
:
A regra básica: derivada de é
, derivada de
é
, e constante some. Logo
A regra básica: derivada de
Igualando a zero:
Interpretação: em
a reta tangente ao gráfico tem inclinação zero — é o vértice da parábola (ponto crítico).
Passo 4
Para saber se em
temos mínimo ou máximo, usamos a segunda derivada ou o sinal de
. A segunda derivada é a derivada de
:
Como
para todo
, a função é côncava para cima e o ponto crítico em
é um mínimo local (na verdade mínimo global para essa parábola).
Calcule o valor da função no vértice:
Logo o vértice é
.
Pequena explicação didática:
-
indica a taxa de variação: se a função sobe (crescente), se a função desce (decrescente). - Como
, ela muda de sinal em : para , ; para , .
Passo 5
Montando a tabela de variação (em palavras e valores-chave):
- Intervalo
: → é decrescente. - Em
: e → mínimo. - Intervalo
: → é crescente.
Valores importantes:, , . Além disso (interseção com eixo ), e como a parábola abre para cima e .
Um esquema da tabela (texto):
-
: -
: (negativo) (positivo) -
: descresce até (mínimo) e depois cresce; cruza o eixo em e .
Passo 6
Esboço do gráfico (descrição para desenhar sem ferramenta):
- É uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de
positivo). - Vértice em
. - Eixo de simetria vertical em
. - Interseções com eixo
: e . - Interseção com eixo
: . Pelo eixo de simetria há outro ponto simétrico . - Para esboçar: marque o vértice baixo em
, os dois zeros à esquerda e direita ( e ), e desenhe uma curva suave que vai para cima à esquerda e à direita, passando por e .
Resposta
Interseções com o eixo
:
e
.
Valores de onde
:
.
Tabela de variação: é decrescente em
, tem mínimo
em
, e é crescente em
.
Valores de
Tabela de variação: