Use a Parte 1 do TFC para encontrar a derivada da função y=\int_{\operatorname{tg} x}^{17} \operatorname{sen}\left(t^{4}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\int_{\operatorname{tg} x}^{17}\operatorname{sen}\left(t^{4}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • A variável independente é x.
  • O integrando é \operatorname{sen}\left(t^{4}\right); aqui \operatorname{sen} é a função seno e t é a variável de integração.
  • O limite superior da integral é a constante 17.
  • O limite inferior é \operatorname{tg} x (a função tangente de x), ou seja, o limite depende de x.
  • É pedido: encontrar dy/dx, isto é, a derivada da função y em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC — Parte 1) adaptada para limites variáveis. Se definimos
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
onde a é constante, g(x) é uma função diferenciável e f é contínua, então a derivada de G é dada por
G'(x)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicando com calma: aqui
  • f(t) é o integrando; é a função que você integra em relação a t.
  • g(x) é o limite (superior) que depende de x.
  • G(x) é a integral como função de x.
    A razão dessa fórmula vem do fato de que, por TFC, a integral até um ponto u é uma antiderivada F(u) (ou seja, F'(u)=f(u)), e então por regra da cadeia
\frac{d}{dx}F\big(g(x)\big)=F'\big(g(x)\big)\,g'(x)=f\big(g(x)\big)\,g'(x).

Passo 3

No nosso caso o limite variável está em baixo, não em cima: temos \int_{\operatorname{tg} x}^{17}. Para usar a fórmula acima de forma direta, trocamos a ordem dos limites usando a propriedade
\int_{u}^{v} f(t)\,dt = -\int_{v}^{u} f(t)\,dt.
Aplicando com u=\operatorname{tg} x e v=17, obtemos
y=\int_{\operatorname{tg} x}^{17}\operatorname{sen}\big(t^{4}\big)\,dt = -\int_{17}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen}\big(t^{4}\big)\,dt.
Agora a integral tem a forma - (integral com limite superior \operatorname{tg} x), ou seja podemos ver
y = -H(x),
onde
H(x)=\int_{17}^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sen}\big(t^{4}\big)\,dt.

Passo 4

Aplicamos o TFC (Passo 2) à função H(x). Tomando f(t)=\operatorname{sen}\big(t^{4}\big) e g(x)=\operatorname{tg} x, a regra diz
H'(x)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big)\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x).
Aqui precisamos da derivada da tangente. Lembrete prático: a derivada da tangente é
\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x)=\operatorname{sec}^{2}x,
onde \operatorname{sec} x é a função secante e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Em termos simples, isso vem da identidade \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e da regra do quociente, mas você pode decorar que (\operatorname{tg} x)'=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo em H'(x) obtemos
H'(x)=\operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big)\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Lembrando que y=-H(x), então
y'=-H'(x)=-\operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big)\cdot\operatorname{sec}^{2}x.
Podemos reescrever de forma mais direta e clara como
y'=-\operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big)\,\operatorname{sec}^{2}x.
Explicação das composições: \operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big) significa que primeiro calculamos \operatorname{tg} x, elevamos ao quarto potência e depois aplicamos o seno; a multiplicação por \operatorname{sec}^{2}x vem da derivada do limite variável \operatorname{tg} x.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova:
  • A técnica geral: se a integral tem limite variável, transforme para ter a variável no limite superior ou aplique a regra com sinal apropriado. Uma boa manobra é sempre lembrar que variável no limite inferior traz um sinal negativo.
  • Verifique domínio: \operatorname{tg} x (tangente) não está definida onde \cos x=0, então y' só faz sentido onde \cos x\neq 0.
  • Exemplo rápido parecido: se z(x)=\int_{2}^{\sin x} e^{t}\,dt, então z'(x)=e^{\sin x}\cos x pela mesma regra (a derivada de \sin x é \cos x).

Resposta

y'=-\operatorname{sen}\big((\operatorname{tg} x)^{4}\big)\,\operatorname{sec}^{2}x

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