Use a Parte 1 do TFC para encontrar a derivada da função
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A variável independente é
. - O integrando é
; aqui é a função seno e é a variável de integração. - O limite superior da integral é a constante
. - O limite inferior é
(a função tangente de ), ou seja, o limite depende de . - É pedido: encontrar
, isto é, a derivada da função em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC — Parte 1) adaptada para limites variáveis. Se definimos
onde
é constante,
é uma função diferenciável e
é contínua, então a derivada de
é dada por
Explicando com calma: aqui
-
é o integrando; é a função que você integra em relação a . -
é o limite (superior) que depende de . -
é a integral como função de .
A razão dessa fórmula vem do fato de que, por TFC, a integral até um pontoé uma antiderivada (ou seja, ), e então por regra da cadeia
Passo 3
No nosso caso o limite variável está em baixo, não em cima: temos
. Para usar a fórmula acima de forma direta, trocamos a ordem dos limites usando a propriedade
Aplicando com
e
, obtemos
Agora a integral tem a forma
(integral com limite superior
), ou seja podemos ver
onde
Passo 4
Aplicamos o TFC (Passo 2) à função
. Tomando
e
, a regra diz
Aqui precisamos da derivada da tangente. Lembrete prático: a derivada da tangente é
onde
é a função secante e
. Em termos simples, isso vem da identidade
e da regra do quociente, mas você pode decorar que
.
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Lembrando que
, então
Podemos reescrever de forma mais direta e clara como
Explicação das composições:
significa que primeiro calculamos
, elevamos ao quarto potência e depois aplicamos o seno; a multiplicação por
vem da derivada do limite variável
.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova:
- A técnica geral: se a integral tem limite variável, transforme para ter a variável no limite superior ou aplique a regra com sinal apropriado. Uma boa manobra é sempre lembrar que variável no limite inferior traz um sinal negativo.
- Verifique domínio:
(tangente) não está definida onde , então só faz sentido onde . - Exemplo rápido parecido: se
, então pela mesma regra (a derivada de é ).