Uma praticante de “ioiô humano” tem massa de
e está numa ponte de
acima de um rio. No estado relaxado, sua corda elástica tem comprimento
. Suponha que a corda obedece à Lei de Hooke com
. Considere
. a) A que distância
os pés da moça estarão da água no ponto mais baixo da queda? b) Qual é a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) A que distância os pés da moça estarão da água no ponto mais baixo da queda.
b) Qual é a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda.
a) A que distância
b) Qual é a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
Observação clara sobre a situação física (apenas dados e o pedido, sem resolver ainda): a moça salta da ponte segurando/ligada a uma corda elástica presa no topo; inicialmente a corda está relaxada com comprimento
e só passa a exercer força quando está esticada. No ponto mais baixo a corda estará esticada além de
por uma quantidade
; a distância total caída desde a ponte até o ponto mais baixo é
. A partir desses dados precisamos achar
(para então achar
) e a força resultante nesse ponto.
Passo 2
Entendendo a física que vamos usar (explicação didática e fórmulas):
- Lei de Hooke: uma mola (ou corda elástica ideal) exerce uma força restauradora diretamente proporcional à deformação. A forma escalar que nos interessa é
onde
é a intensidade da força elástica quando a corda está esticada uma distância
além do seu comprimento natural
. Aqui
é a constante elástica e
é a extensão (em metros). A direção da força é para cima (oposta ao alongamento), mas em módulo usamos
.
- Energia potencial elástica: a energia armazenada numa mola esticada é
Expliquei: essa é a energia que aparece porque a corda trabalha como uma mola; quando a corda é esticada, ela guarda energia que veio da energia cinética/gravidade da pessoa.
- Energia potencial gravitacional (diferença de altura): ao descer uma distância
na gravidade uniforme, a perda de energia potencial é
onde
é a massa,
a aceleração da gravidade e
a distância vertical descida.
- Princípio da conservação da energia mecânica (sem dissipação): se desprezarmos resistência do ar e atrito, a energia potencial gravitacional perdida ao descer se transforma em energia cinética e, no ponto mais baixo (onde a velocidade é zero instantaneamente no máximo alongamento), toda energia cinética foi convertida em energia elástica. Assim, a perda total de energia gravitacional desde o início até o ponto mais baixo é igual à energia elástica armazenada:
porque a pessoa desce uma distância total de
antes de parar momentaneamente no ponto mais baixo. Aqui
é a extensão extra além de
.
Vou usar essa equação para encontrar
. Depois, a distância dos pés até a água no ponto mais baixo será
altura da ponte
(distância total caída)
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a equação de conservação de energia (com definição das variáveis):
onde
Substituindo os valores numéricos:
Calma — vamos simplificar passo a passo.
Passo 4
Simplificando a equação numérica:
Primeiro calcule . Então a equação vira
Primeiro calcule
porque
.
Agora desenvolvendo o lado esquerdo:
Colocando tudo em forma padrão de equação quadrática
:
Podemos simplificar dividindo ambos os membros por
para facilitar:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática (passo a passo):
A equação é
A equação é
Usamos a fórmula quadrática:
onde
,
,
. Substituindo:
A raiz quadrada é
.
Então
Temos duas soluções:
A solução física para extensão
não pode ser negativa (seria compressão), então rejeitamos
. Logo a extensão real é
Passo 6
Calculando a distância dos pés até a água no ponto mais baixo:
A descida total desde a ponte até o ponto mais baixo é . Então
A descida total desde a ponte até o ponto mais baixo é
Como a ponte está a
da água, a distância dos pés até a água no ponto mais baixo é
Interpretação física rápida: ela para a apenas
acima da água — passou bem perto!
Passo 7
Agora a força resultante sobre a moça no ponto mais baixo (explicação e cálculo):
No ponto mais baixo a velocidade instantânea é zero, mas as forças não se anulam necessariamente. Existem duas forças verticais principais:
No ponto mais baixo a velocidade instantânea é zero, mas as forças não se anulam necessariamente. Existem duas forças verticais principais:
- Peso para baixo:
. - Força elástica para cima:
.
A força resultante para cima é
Substituindo valores:
Logo
direção: para cima (porque a força elástica é bem maior que o peso).
Se quiser interpretar como aceleração instantânea para cima naquele ponto:
ou seja, uma desaceleração/ aceleração muito grande para cima no instante em que começa a reboque.
Passo 8
Resumo final (sem desenvolver novos cálculos): encontramos que a extensão máxima
é
, a distância até a água no ponto mais baixo é
, e a força resultante nesse ponto é
para cima.
Resposta
a)
b) (para cima)
b)