Uma praticante de “ioiô humano” tem massa de 60 k g e está numa ponte de 47 m acima de um rio. No estado relaxado, sua corda elástica tem comprimento L=30 m. Suponha que a corda obedece à Lei de Hooke com K=240 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. a) A que distância h os pés da moça estarão da água no ponto mais baixo da queda? b) Qual é a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) A que distância h os pés da moça estarão da água no ponto mais baixo da queda.
b) Qual é a força resultante que age sobre a moça no ponto mais baixo da queda.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
m=60\\ \mathrm{kg}
\text{altura da ponte acima da água }=47\\ \mathrm{m}á
\text{comprimento da corda no estado relaxado }L=30\\ \mathrm{m}
\text{constante elástica (Lei de Hooke) }K=240\\ \mathrm{N/m}á
g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}
Observação clara sobre a situação física (apenas dados e o pedido, sem resolver ainda): a moça salta da ponte segurando/ligada a uma corda elástica presa no topo; inicialmente a corda está relaxada com comprimento L e só passa a exercer força quando está esticada. No ponto mais baixo a corda estará esticada além de L por uma quantidade x; a distância total caída desde a ponte até o ponto mais baixo é L+x. A partir desses dados precisamos achar x (para então achar h) e a força resultante nesse ponto.

Passo 2

Entendendo a física que vamos usar (explicação didática e fórmulas):
  • Lei de Hooke: uma mola (ou corda elástica ideal) exerce uma força restauradora diretamente proporcional à deformação. A forma escalar que nos interessa é
F_{\text{s}}=Kx,
onde F_{\text{s}} é a intensidade da força elástica quando a corda está esticada uma distância x além do seu comprimento natural L. Aqui K é a constante elástica e x é a extensão (em metros). A direção da força é para cima (oposta ao alongamento), mas em módulo usamos Kx.
  • Energia potencial elástica: a energia armazenada numa mola esticada é
U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}Kx^{2}.
Expliquei: essa é a energia que aparece porque a corda trabalha como uma mola; quando a corda é esticada, ela guarda energia que veio da energia cinética/gravidade da pessoa.
  • Energia potencial gravitacional (diferença de altura): ao descer uma distância h na gravidade uniforme, a perda de energia potencial é
\Delta U_{g}=mg h,
onde m é a massa, g a aceleração da gravidade e h a distância vertical descida.
  • Princípio da conservação da energia mecânica (sem dissipação): se desprezarmos resistência do ar e atrito, a energia potencial gravitacional perdida ao descer se transforma em energia cinética e, no ponto mais baixo (onde a velocidade é zero instantaneamente no máximo alongamento), toda energia cinética foi convertida em energia elástica. Assim, a perda total de energia gravitacional desde o início até o ponto mais baixo é igual à energia elástica armazenada:
mg(L+x)=\tfrac{1}{2}Kx^{2},
porque a pessoa desce uma distância total de L+x antes de parar momentaneamente no ponto mais baixo. Aqui x é a extensão extra além de L.
Vou usar essa equação para encontrar x. Depois, a distância dos pés até a água no ponto mais baixo será h= altura da ponte -(distância total caída) =47-(L+x).

Passo 3

Escrevendo explicitamente a equação de conservação de energia (com definição das variáveis):
mg(L+x)=\tfrac{1}{2}Kx^{2},
onde
m=60,\quad g=10,\quad L=30,\quad K=240.
Substituindo os valores numéricos:
60\cdot 10\cdot(30+x)=\tfrac{1}{2}\cdot 240\cdot x^{2}.
Calma — vamos simplificar passo a passo.

Passo 4

Simplificando a equação numérica:
Primeiro calcule mg=60\cdot 10=600. Então a equação vira
600(30+x)=120 x^{2},
porque \tfrac{1}{2}\cdot 240=120.
Agora desenvolvendo o lado esquerdo:
600\cdot 30 + 600x =120 x^{2}
18000 + 600x =120 x^{2}.
Colocando tudo em forma padrão de equação quadrática ax^{2}+bx+c=0:
120 x^{2} -600x -18000=0.
Podemos simplificar dividindo ambos os membros por 60 para facilitar:
2 x^{2} -10 x -300=0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática (passo a passo):
A equação é
2x^{2}-10x-300=0.
Usamos a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=2, b=-10, c=-300. Substituindo:
b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot 2\cdot(-300) =100 +2400 =2500.
A raiz quadrada é \sqrt{2500}=50.
Então
x=\frac{-(-10)\pm 50}{2\cdot 2}=\frac{10\pm 50}{4}.
Temos duas soluções:
x_{1}=\frac{10+50}{4}=\frac{60}{4}=15\\ \mathrm{m},
x_{2}=\frac{10-50}{4}=\frac{-40}{4}=-10\\ \mathrm{m}.
A solução física para extensão x não pode ser negativa (seria compressão), então rejeitamos x=-10\\ \mathrm{m}. Logo a extensão real é
x=15\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculando a distância dos pés até a água no ponto mais baixo:
A descida total desde a ponte até o ponto mais baixo é L+x. Então
L+x=30+15=45\\ \mathrm{m}.
Como a ponte está a 47\\ \mathrm{m} da água, a distância dos pés até a água no ponto mais baixo é
h=47-(L+x)=47-45=2\\ \mathrm{m}.
Interpretação física rápida: ela para a apenas 2\\ \mathrm{m} acima da água — passou bem perto!

Passo 7

Agora a força resultante sobre a moça no ponto mais baixo (explicação e cálculo):
No ponto mais baixo a velocidade instantânea é zero, mas as forças não se anulam necessariamente. Existem duas forças verticais principais:
  • Peso para baixo: P=mg.
  • Força elástica para cima: F_{\text{s}}=Kx.
A força resultante para cima é
F_{\text{res}}=F_{\text{s}}-P = Kx - mg.
Substituindo valores:
Kx =240\cdot 15 =3600\\ \mathrm{N},
mg =60\cdot 10 =600\\ \mathrm{N}.
Logo
F_{\text{res}}=3600-600=3000\\ \mathrm{N},
direção: para cima (porque a força elástica é bem maior que o peso).
Se quiser interpretar como aceleração instantânea para cima naquele ponto:
a=\frac{F_{\text{res}}}{m}=\frac{3000}{60}=50\\ \mathrm{m/s^{2}},
ou seja, uma desaceleração/ aceleração muito grande para cima no instante em que começa a reboque.

Passo 8

Resumo final (sem desenvolver novos cálculos): encontramos que a extensão máxima x é 15\\ \mathrm{m}, a distância até a água no ponto mais baixo é 2\\ \mathrm{m}, e a força resultante nesse ponto é 3000\\ \mathrm{N} para cima.

Resposta

a) h=2\\ \mathrm{m}
b) F_{\text{res}}=3000\\ \mathrm{N} (para cima)

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