Um bloco de massa
sobe com velocidade constante uma rampa sem atrito de altura
. Obtenha
e o trabalho realizado por
para subir a rampa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- Dado: um bloco de massa
, sobe uma rampa sem atrito até uma altura .\ - Dado: o bloco sobe com velocidade constante (ou seja, sua velocidade não muda durante o movimento).
- Dado implícito: existe uma força externa aplicada
que puxa/empurra o bloco para cima ao longo da rampa (é essa que queremos achar). - O que se pede: determinar a força vetorial
e o trabalho realizado por durante a subida até a altura .\
Informações geométricas úteis (que podemos usar): a rampa faz um ângulo
com a horizontal; se chamarmos de
o comprimento do percurso ao longo da rampa (distância percorrida pelo bloco), vale a relação geométrica
. Não assumimos ainda valores numéricos para
ou
.
Passo 2
Descrevendo todas as forças que atuam no bloco (diagrama de forças):
- Peso:
, apontando vertical para baixo. Em módulos escrevemos , onde é a aceleração da gravidade (aprox. se precisar). - Força normal da superfície:
, perpendicular à superfície da rampa, apontando para fora do plano. - Força aplicada que mantém o bloco subindo:
, que assumimos dirigida ao longo da superfície da rampa, para cima (paralela ao plano).
Explicação física: como não há atrito, não há força tangencial além de
e do componente tangencial do peso. A normal é perpendicular ao deslocamento ao longo da rampa, então mais adiante veremos que ela não realiza trabalho.
Passo 3
Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
- Como o peso é vertical, projetamos
nas direções “paralela ao plano” e “perpendicular ao plano”. Pelo desenho trigonométrico padrão da rampa temos: - componente do peso perpendicular ao plano:
, apontando para a superfície (para dentro da rampa). - componente do peso paralela ao plano:
, apontando para baixo ao longo do plano (tendendo a puxar o bloco para baixo).
- componente do peso perpendicular ao plano:
Por que isso funciona? Porque o triângulo formado pelas componentes é retângulo com ângulos
, então o cateto paralelo corresponde a
e o cateto perpendicular a
.
Passo 4
Uso da condição de movimento com velocidade constante (equilíbrio dinâmico na direção do movimento):
- Velocidade constante significa aceleração nula:
. Pela segunda lei de Newton . - Projetando as forças na direção paralela ao plano (sentido “para cima” ao longo da rampa positivo), as forças tangenciais são a força aplicada
(positiva) e o componente do peso (negativo, porque aponta para baixo). Logo: - Dessa igualdade obtemos o módulo de
: - Em forma vetorial, tomando
como o versor (vetor unitário) apontando para cima ao longo da rampa, a força é - (Para completar: na direção perpendicular o equilíbrio dá
, então . Isso só confirma que a normal se ajusta, mas não contribui para o trabalho ao longo do plano.)
Passo 5
Expressão de
em termos de
e do comprimento do plano
(caso não se queira usar
):
- Usando a relação geométrica que citei no Passo 1,
. Substituindo em obtemos - Em forma vetorial:
- Observação: se o enunciado não fornece
, é mais habitual apresentar em função de (como no Passo 4). Ambas as formas são equivalentes via .
Passo 6
Cálculo do trabalho realizado por
durante a subida até a altura
:
Definição de trabalho: se uma força constante
atua enquanto o ponto material se desloca por um vetor
, o trabalho é
. No nosso caso a força
tem direção paralela ao deslocamento ao longo da rampa, então o ângulo entre
e
é zero e o produto escalar fica simplesmente
quando a força é constante ao longo do percurso.
- Usando o módulo de
do Passo 4 e o comprimento do percurso , - Agora substituímos
ou simplesmente fazemos a simplificação: - Interpretação física mais direta (método alternativo, também didático): a energia cinética não muda (velocidade constante), então o trabalho total pelas forças é zero. A normal não realiza trabalho (perpendicular ao deslocamento) e a força peso realiza trabalho
ao descer virtualmente (ou seja, sobre o deslocamento para cima tem trabalho negativo). Dessa soma segue , então . É a mesma conclusão mais elegante pela conservação/teorema energia-trabalho.
Passo 7
Resumo final e observações de interpretação:
- A força
que mantém velocidade constante tem intensidade igual ao componente do peso ao longo da rampa e aponta para cima ao longo do plano; pode ser expressa em função do ângulo ou do comprimento : - O trabalho efetuado por essa força enquanto o bloco sobe até a altura
é independente do ângulo ou do comprimento da rampa e vale - Palavra de estímulo: repare que a resposta simples e bonita
é esperada — para subir uma altura contra a gravidade precisamos gastar exatamente a energia potencial ; a rampa só muda como essa força é aplicada (sua magnitude instantânea), não a energia total gasta.