Um bloco de massa m sobe com velocidade constante uma rampa sem atrito de altura h. Obtenha \vec{F} e o trabalho realizado por \vec{F} para subir a rampa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • Dado: um bloco de massa \,m, sobe uma rampa sem atrito até uma altura \,h.\
  • Dado: o bloco sobe com velocidade constante (ou seja, sua velocidade não muda durante o movimento).
  • Dado implícito: existe uma força externa aplicada \vec{F} que puxa/empurra o bloco para cima ao longo da rampa (é essa \vec{F} que queremos achar).
  • O que se pede: determinar a força vetorial \vec{F} e o trabalho realizado por \vec{F} durante a subida até a altura \,h.\
Informações geométricas úteis (que podemos usar): a rampa faz um ângulo \theta com a horizontal; se chamarmos de s o comprimento do percurso ao longo da rampa (distância percorrida pelo bloco), vale a relação geométrica \sin\theta = \dfrac{h}{s}. Não assumimos ainda valores numéricos para \theta ou s.

Passo 2

Descrevendo todas as forças que atuam no bloco (diagrama de forças):
  • Peso: \vec{P} = m\vec{g}, apontando vertical para baixo. Em módulos escrevemos P = mg, onde g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \text{m/s}^2 se precisar).
  • Força normal da superfície: \vec{N}, perpendicular à superfície da rampa, apontando para fora do plano.
  • Força aplicada que mantém o bloco subindo: \vec{F}, que assumimos dirigida ao longo da superfície da rampa, para cima (paralela ao plano).
Explicação física: como não há atrito, não há força tangencial além de \vec{F} e do componente tangencial do peso. A normal é perpendicular ao deslocamento ao longo da rampa, então mais adiante veremos que ela não realiza trabalho.

Passo 3

Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano:
  • Como o peso é vertical, projetamos \vec{P} nas direções “paralela ao plano” e “perpendicular ao plano”. Pelo desenho trigonométrico padrão da rampa temos:
    • componente do peso perpendicular ao plano: \,P_\perp = mg\cos\theta, apontando para a superfície (para dentro da rampa).
    • componente do peso paralela ao plano: \,P_\parallel = mg\sin\theta, apontando para baixo ao longo do plano (tendendo a puxar o bloco para baixo).
Por que isso funciona? Porque o triângulo formado pelas componentes é retângulo com ângulos \theta, então o cateto paralelo corresponde a mg\sin\theta e o cateto perpendicular a mg\cos\theta.

Passo 4

Uso da condição de movimento com velocidade constante (equilíbrio dinâmico na direção do movimento):
  • Velocidade constante significa aceleração nula: \,a=0. Pela segunda lei de Newton \,\sum \vec{F}=m\vec{a}=0.
  • Projetando as forças na direção paralela ao plano (sentido “para cima” ao longo da rampa positivo), as forças tangenciais são a força aplicada \vec{F} (positiva) e o componente do peso P_\parallel=mg\sin\theta (negativo, porque aponta para baixo). Logo: F - mg\sin\theta = 0.
  • Dessa igualdade obtemos o módulo de \vec{F}: F = mg\sin\theta.
  • Em forma vetorial, tomando \hat{u}_\parallel como o versor (vetor unitário) apontando para cima ao longo da rampa, a força é \vec{F} = mg\sin\theta\;\hat{u}_\parallel.
  • (Para completar: na direção perpendicular o equilíbrio dá N - mg\cos\theta = 0, então N=mg\cos\theta. Isso só confirma que a normal se ajusta, mas não contribui para o trabalho ao longo do plano.)

Passo 5

Expressão de \vec{F} em termos de h e do comprimento do plano s (caso não se queira usar \theta):
  • Usando a relação geométrica que citei no Passo 1, \sin\theta = \dfrac{h}{s}. Substituindo em F = mg\sin\theta obtemos F = mg\,\frac{h}{s}.
  • Em forma vetorial: \vec{F} = mg\,\frac{h}{s}\;\hat{u}_\parallel.
  • Observação: se o enunciado não fornece s, é mais habitual apresentar \vec{F} em função de \theta (como no Passo 4). Ambas as formas são equivalentes via \sin\theta = h/s.

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado por \vec{F} durante a subida até a altura \,h:
Definição de trabalho: se uma força constante \vec{F} atua enquanto o ponto material se desloca por um vetor \vec{r}, o trabalho é W=\vec{F}\cdot\vec{r}. No nosso caso a força \vec{F} tem direção paralela ao deslocamento ao longo da rampa, então o ângulo entre \vec{F} e d\vec{r} é zero e o produto escalar fica simplesmente F\,s quando a força é constante ao longo do percurso.
  • Usando o módulo de \vec{F} do Passo 4 e o comprimento do percurso s, W_F = F\cdot s = (mg\sin\theta)\,s.
  • Agora substituímos \sin\theta = \dfrac{h}{s} ou simplesmente fazemos a simplificação: W_F = mg\sin\theta\; s = mg\,( \sin\theta\, s ) = mg\,h.
  • Interpretação física mais direta (método alternativo, também didático): a energia cinética não muda (velocidade constante), então o trabalho total pelas forças é zero. A normal não realiza trabalho (perpendicular ao deslocamento) e a força peso realiza trabalho -mg h ao descer virtualmente (ou seja, sobre o deslocamento para cima tem trabalho negativo). Dessa soma W_F + W_{\text{peso}} + W_N = 0 segue W_F - mg h + 0 = 0, então W_F = mg h. É a mesma conclusão mais elegante pela conservação/teorema energia-trabalho.

Passo 7

Resumo final e observações de interpretação:
  • A força \vec{F} que mantém velocidade constante tem intensidade igual ao componente do peso ao longo da rampa e aponta para cima ao longo do plano; pode ser expressa em função do ângulo \theta ou do comprimento s: \vec{F} = mg\sin\theta\;\hat{u}_\parallel = mg\,\frac{h}{s}\;\hat{u}_\parallel.
  • O trabalho efetuado por essa força enquanto o bloco sobe até a altura h é independente do ângulo ou do comprimento da rampa e vale W_F = mg h.
  • Palavra de estímulo: repare que a resposta simples e bonita W_F=mg h é esperada — para subir uma altura h contra a gravidade precisamos gastar exatamente a energia potencial mg h; a rampa só muda como essa força é aplicada (sua magnitude instantânea), não a energia total gasta.

Resposta

\displaystyle \vec{F}=mg\sin\theta\;\hat{u}_\parallel = mg\,\frac{h}{s}\;\hat{u}_\parallel
\displaystyle W_{F}=mg\,h

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