O bloco de massa M possui velocidade inicial v_{0} dirigida da esquerda para a direita e sua posição é tal que a mola não exerce nenhuma força sobre ele, isto é, a mola não está comprimida nem esticada. O bloco percorre uma distância l para a direita antes de parar. A constante da mola é k e o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e o bloco vale \mu_{c}. Determine para o deslocamento l da massa M : (a) o trabalho realizado pela força de atrito cinético (considerando o bloco como uma partícula). (b) O trabalho realizado pela força elástica da mola. (c) O trabalho realizado pelo peso do bloco. (d) O trabalho realizado pela reação normal da mesa sobre o bloco. (e) O trabalho total realizado sobre o bloco. (f) Determine a distância l em função das grandezas pertinentes usando o teorema que relaciona o trabalho com a energia cinética.

Passo 1

O enunciado diz: um bloco de massa M tem velocidade inicial \,v_{0}\, para a direita. Inicialmente a mola que está ligada ao bloco não exerce força sobre ele (ou seja, no ponto inicial a mola está no comprimento natural, sem compressão nem alongamento). O bloco se move para a direita até parar, percorrendo uma distância \,l\, medido a partir da posição inicial. A constante da mola é \,k\, e o coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é \,\mu_{c}\,.
As perguntas são:
(a) Determinar o trabalho realizado pela força de atrito cinético ao longo do deslocamento \,l.
(b) Determinar o trabalho realizado pela força elástica da mola ao longo de \,l.
(c) Determinar o trabalho realizado pelo peso do bloco.
(d) Determinar o trabalho realizado pela reação normal da mesa.
(e) Determinar o trabalho total realizado sobre o bloco.
(f) Determinar a distância \,l\, em função das grandezas dadas usando o teorema trabalho-energia cinética.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a mola está relaxada na posição inicial (energia potencial elástica inicial zero), o bloco desloca-se horizontalmente a distância \,l, o atrito é cinético e portanto força de atrito de módulo constante igual a \mu_{c} N onde N é a normal, e o bloco parte com energia cinética inicial \tfrac{1}{2}M v_{0}^{2} e termina parado (energia cinética final zero).

Passo 2

Trabalho da força de atrito cinético — conceito e fórmula.
Explicação didática: o trabalho realizado por uma força constante e colinear com o deslocamento é o produto do módulo da força pelo deslocamento vezes o cosseno do ângulo entre força e deslocamento. Aqui a força de atrito \vec{f} tem direção horizontal e aponta para a esquerda (oposta ao movimento para a direita). O deslocamento \vec{d} é para a direita com módulo \,l. O ângulo entre \vec{f} e \vec{d} é 180^\circ, então \cos 180^\circ = -1. O módulo da força de atrito é \,f=\mu_{c} N\,. Como a mesa é horizontal e não há aceleração vertical, a normal vale N=Mg. Portanto:
W_{\text{atrito}} = f\cdot l \cos 180^\circ = -(\mu_{c} N) l = -\mu_{c} M g \, l.
Observação prática: o sinal negativo indica que o atrito retira energia do bloco.

Passo 3

Trabalho da força elástica da mola — derivação por integral (muito importante entender!).
Explicação didática: a força elástica da mola é variável, depende da deformação x (distância que a mola foi comprimida/esticada a partir do seu comprimento natural). A lei de Hooke diz que a força que a mola exerce sobre o bloco vale \,F_{\text{mola}}(x) = -k x\,, onde o sinal menos indica que a força é sempre dirigida para o sentido que tende a reduzir x (ou seja, se o bloco vai para a direita e estica/comprime a mola, a força da mola aponta para a esquerda). Para calcular o trabalho quando a força varia, usamos a integral do produto força \times deslocamento: se tomamos x=0 na posição inicial (mola relaxada) e x=l na posição final, então
W_{\text{mola}}=\int_{0}^{l} F_{\text{mola}}(x)\,dx = \int_{0}^{l} (-k x)\,dx.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{l} (-k x)\,dx = -k \int_{0}^{l} x\,dx = -k \left[ \tfrac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{l} = -\tfrac{1}{2} k l^{2}.
Interpretação física do sinal: o trabalho realizado pela mola sobre o bloco é negativo porque a mola faz força contrária ao deslocamento enquanto o bloco a comprime/estica, e a energia fica armazenada na mola como energia potencial elástica \tfrac{1}{2}k l^{2}.

Passo 4

Trabalho do peso do bloco — por que é zero.
Explicação didática: o peso \vec{P} é uma força vertical (para baixo) de módulo Mg. O deslocamento do bloco é horizontal, sem componente vertical (a menos que a mesa se deforme, o que não é o caso aqui). O trabalho de uma força é o produto escalar entre a força e o deslocamento; como a componente do deslocamento na direção da força peso é nula, o trabalho é zero. Em termos simples:
W_{\text{peso}} = \vec{P}\cdot\vec{d} = Mg \cdot 0 = 0.

Passo 5

Trabalho da reação normal da mesa — também zero.
Explicação didática: a normal \vec{N} é vertical para cima com módulo N=Mg (sendo estática a condição vertical). O deslocamento é horizontal, logo a componente do deslocamento na direção da normal é zero e assim o trabalho da normal é nulo:
W_{\text{normal}} = \vec{N}\cdot\vec{d} = N \cdot 0 = 0.

Passo 6

Trabalho total sobre o bloco — soma dos trabalhos individuais.
Somamos os resultados dos passos anteriores. Os únicos trabalhos não nulos são o do atrito e o da mola. Assim:
W_{\text{total}} = W_{\text{atrito}} + W_{\text{mola}} + W_{\text{peso}} + W_{\text{normal}} = -\mu_{c} M g\, l \;+\; \Big(-\tfrac{1}{2}k l^{2}\Big) \;+\; 0 \;+\; 0.
Portanto
W_{\text{total}} = -\mu_{c} M g\, l \;-\; \tfrac{1}{2}k l^{2}.
Comentário: esse trabalho total é a energia retirada da energia cinética inicial do bloco.

Passo 7

Aplicando o teorema trabalho-energia cinética (fórmula e significado).
Explicação didática: o teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado sobre uma partícula entre dois instantes é igual à variação da sua energia cinética:
W_{\text{total}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.
No nosso caso o bloco parte com energia cinética inicial K_{\text{inicial}} = \tfrac{1}{2} M v_{0}^{2} e termina parado, então K_{\text{final}}=0. Assim:
W_{\text{total}} = 0 - \tfrac{1}{2}M v_{0}^{2} = -\tfrac{1}{2} M v_{0}^{2}.

Passo 8

Formando a equação para encontrar \,l\, e resolvendo-a.
Igualamos o trabalho total calculado no Passo 6 ao valor obtido pelo teorema no Passo 7:
-\mu_{c} M g\, l \;-\; \tfrac{1}{2}k l^{2} \;=\; -\tfrac{1}{2} M v_{0}^{2}.
Multiplique ambos os lados por -1 para simplificar sinais:
\mu_{c} M g\, l \;+\; \tfrac{1}{2}k l^{2} \;=\; \tfrac{1}{2} M v_{0}^{2}.
Colocando em forma padrão de equação quadrática em l:
\tfrac{1}{2}k l^{2} \;+\; \mu_{c} M g\, l \;-\; \tfrac{1}{2} M v_{0}^{2} = 0.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
k l^{2} \;+\; 2\mu_{c} M g\, l \;-\; M v_{0}^{2} = 0.
Agora usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a l^{2} + b l + c = 0 com a=k, b=2\mu_{c} M g, c=-M v_{0}^{2}. A solução é
l = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2a}.
Calcule o discriminante:
b^{2} - 4 a c = (2\mu_{c} M g)^{2} - 4 k(-M v_{0}^{2}) = 4\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + 4 k M v_{0}^{2}.
Logo a raiz quadrada é 2\sqrt{\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + k M v_{0}^{2}}. Substituindo:
l = \frac{-2\mu_{c} M g \pm 2\sqrt{\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + k M v_{0}^{2}}}{2k}.
Simplificando o fator 2:
l = \frac{-\mu_{c} M g \pm \sqrt{\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + k M v_{0}^{2}}}{k}.

Passo 9

Escolha da raiz fisicamente aceitável e resultado final para \,l\,.
Explicação didática: entre as duas soluções da quadrática, escolhemos a que dá l\ge 0 (distância percorrida não negativa). Note que o termo com o sinal + na frente da raiz produz um numerador que pode ser positivo (pois a raiz é maior que \mu_{c} M g quando o termo em v_{0}^{2} não é zero), enquanto o sinal - leva a um numerador negativo e portanto uma l negativa (não física para nosso caso). Assim a solução fisicamente correta é:
l = \frac{-\mu_{c} M g + \sqrt{\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + k M v_{0}^{2}}}{k}.
Comentário final: essa expressão mostra o papel do atrito (segundo termo linear em l) e da mola (termo quadrático em l) em parar o bloco; em limites fáceis de verificar, se \mu_{c}=0 a expressão reduz-se à clássica \tfrac{1}{2}k l^{2} = \tfrac{1}{2} M v_{0}^{2} dando l = v_{0}\sqrt{M/k}, e se k=0 reduz-se à l = \tfrac{v_{0}^{2}}{2\mu_{c} g}, a distância de parada por atrito puro (fica fácil de checar mentalmente).

Resposta

(a) W_{\text{atrito}} = -\mu_{c} M g \, l
(b) W_{\text{mola}} = -\tfrac{1}{2} k l^{2}
(c) W_{\text{peso}} = 0
(d) W_{\text{normal}} = 0
(e) W_{\text{total}} = -\mu_{c} M g \, l - \tfrac{1}{2} k l^{2}
(f) l = \dfrac{-\mu_{c} M g + \sqrt{\mu_{c}^{2} M^{2} g^{2} + k M v_{0}^{2}}}{k}

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