O bloco de massa
possui velocidade inicial
dirigida da esquerda para a direita e sua posição é tal que a mola não exerce nenhuma força sobre ele, isto é, a mola não está comprimida nem esticada. O bloco percorre uma distância
para a direita antes de parar. A constante da mola é
e o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e o bloco vale
. Determine para o deslocamento
da massa
: (a) o trabalho realizado pela força de atrito cinético (considerando o bloco como uma partícula). (b) O trabalho realizado pela força elástica da mola. (c) O trabalho realizado pelo peso do bloco. (d) O trabalho realizado pela reação normal da mesa sobre o bloco. (e) O trabalho total realizado sobre o bloco. (f) Determine a distância
em função das grandezas pertinentes usando o teorema que relaciona o trabalho com a energia cinética.
Passo 1
O enunciado diz: um bloco de massa
tem velocidade inicial
para a direita. Inicialmente a mola que está ligada ao bloco não exerce força sobre ele (ou seja, no ponto inicial a mola está no comprimento natural, sem compressão nem alongamento). O bloco se move para a direita até parar, percorrendo uma distância
medido a partir da posição inicial. A constante da mola é
e o coeficiente de atrito cinético entre bloco e mesa é
.
As perguntas são:
As perguntas são:
(a) Determinar o trabalho realizado pela força de atrito cinético ao longo do deslocamento
.
(b) Determinar o trabalho realizado pela força elástica da mola ao longo de .
(c) Determinar o trabalho realizado pelo peso do bloco.
(d) Determinar o trabalho realizado pela reação normal da mesa.
(e) Determinar o trabalho total realizado sobre o bloco.
(f) Determinar a distância em função das grandezas dadas usando o teorema trabalho-energia cinética.
(b) Determinar o trabalho realizado pela força elástica da mola ao longo de
(c) Determinar o trabalho realizado pelo peso do bloco.
(d) Determinar o trabalho realizado pela reação normal da mesa.
(e) Determinar o trabalho total realizado sobre o bloco.
(f) Determinar a distância
Informações relevantes extraídas do enunciado: a mola está relaxada na posição inicial (energia potencial elástica inicial zero), o bloco desloca-se horizontalmente a distância
, o atrito é cinético e portanto força de atrito de módulo constante igual a
onde
é a normal, e o bloco parte com energia cinética inicial
e termina parado (energia cinética final zero).
Passo 2
Trabalho da força de atrito cinético — conceito e fórmula.
Explicação didática: o trabalho realizado por uma força constante e colinear com o deslocamento é o produto do módulo da força pelo deslocamento vezes o cosseno do ângulo entre força e deslocamento. Aqui a força de atrito tem direção horizontal e aponta para a esquerda (oposta ao movimento para a direita). O deslocamento
é para a direita com módulo
. O ângulo entre
e
é
, então
. O módulo da força de atrito é
. Como a mesa é horizontal e não há aceleração vertical, a normal vale
. Portanto:
Explicação didática: o trabalho realizado por uma força constante e colinear com o deslocamento é o produto do módulo da força pelo deslocamento vezes o cosseno do ângulo entre força e deslocamento. Aqui a força de atrito
Observação prática: o sinal negativo indica que o atrito retira energia do bloco.
Passo 3
Trabalho da força elástica da mola — derivação por integral (muito importante entender!).
Explicação didática: a força elástica da mola é variável, depende da deformação (distância que a mola foi comprimida/esticada a partir do seu comprimento natural). A lei de Hooke diz que a força que a mola exerce sobre o bloco vale
, onde o sinal menos indica que a força é sempre dirigida para o sentido que tende a reduzir
(ou seja, se o bloco vai para a direita e estica/comprime a mola, a força da mola aponta para a esquerda). Para calcular o trabalho quando a força varia, usamos a integral do produto força
deslocamento: se tomamos
na posição inicial (mola relaxada) e
na posição final, então
Explicação didática: a força elástica da mola é variável, depende da deformação
Calcule a integral passo a passo:
Interpretação física do sinal: o trabalho realizado pela mola sobre o bloco é negativo porque a mola faz força contrária ao deslocamento enquanto o bloco a comprime/estica, e a energia fica armazenada na mola como energia potencial elástica
.
Passo 4
Trabalho do peso do bloco — por que é zero.
Explicação didática: o peso é uma força vertical (para baixo) de módulo
. O deslocamento do bloco é horizontal, sem componente vertical (a menos que a mesa se deforme, o que não é o caso aqui). O trabalho de uma força é o produto escalar entre a força e o deslocamento; como a componente do deslocamento na direção da força peso é nula, o trabalho é zero. Em termos simples:
Explicação didática: o peso
Passo 5
Trabalho da reação normal da mesa — também zero.
Explicação didática: a normal é vertical para cima com módulo
(sendo estática a condição vertical). O deslocamento é horizontal, logo a componente do deslocamento na direção da normal é zero e assim o trabalho da normal é nulo:
Explicação didática: a normal
Passo 6
Trabalho total sobre o bloco — soma dos trabalhos individuais.
Somamos os resultados dos passos anteriores. Os únicos trabalhos não nulos são o do atrito e o da mola. Assim:
Somamos os resultados dos passos anteriores. Os únicos trabalhos não nulos são o do atrito e o da mola. Assim:
Portanto
Comentário: esse trabalho total é a energia retirada da energia cinética inicial do bloco.
Passo 7
Aplicando o teorema trabalho-energia cinética (fórmula e significado).
Explicação didática: o teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado sobre uma partícula entre dois instantes é igual à variação da sua energia cinética:
Explicação didática: o teorema trabalho-energia diz que o trabalho total realizado sobre uma partícula entre dois instantes é igual à variação da sua energia cinética:
No nosso caso o bloco parte com energia cinética inicial
e termina parado, então
. Assim:
Passo 8
Formando a equação para encontrar
e resolvendo-a.
Igualamos o trabalho total calculado no Passo 6 ao valor obtido pelo teorema no Passo 7:
Igualamos o trabalho total calculado no Passo 6 ao valor obtido pelo teorema no Passo 7:
Multiplique ambos os lados por
para simplificar sinais:
Colocando em forma padrão de equação quadrática em
:
Multiplicando por
para evitar frações:
Agora usamos a fórmula de Bhaskara para resolver
com
,
,
. A solução é
Calcule o discriminante:
Logo a raiz quadrada é
. Substituindo:
Simplificando o fator
:
Passo 9
Escolha da raiz fisicamente aceitável e resultado final para
.
Explicação didática: entre as duas soluções da quadrática, escolhemos a que dá (distância percorrida não negativa). Note que o termo com o sinal
na frente da raiz produz um numerador que pode ser positivo (pois a raiz é maior que
quando o termo em
não é zero), enquanto o sinal
leva a um numerador negativo e portanto uma
negativa (não física para nosso caso). Assim a solução fisicamente correta é:
Explicação didática: entre as duas soluções da quadrática, escolhemos a que dá
Comentário final: essa expressão mostra o papel do atrito (segundo termo linear em
) e da mola (termo quadrático em
) em parar o bloco; em limites fáceis de verificar, se
a expressão reduz-se à clássica
dando
, e se
reduz-se à
, a distância de parada por atrito puro (fica fácil de checar mentalmente).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)