Em que prazo um empréstimo de
pode ser quitado em um único pagamento de
, sabendo-se que a taxa contratada é de
ao mês?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um empréstimo de R$ 30.000,00 que precisa ser pago de uma só vez no valor de R$ 51.310,18. A taxa de juros contratada é de 5% ao mês. Vamos usar os conceitos de Juros Compostos para descobrir em quantos meses isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a fórmula dos Juros Compostos, que é:
Onde:
- $ VF $ é o Valor Futuro (R$ 51.310,18)
- $ VP $ é o Valor Presente ou inicial (R$ 30.000,00)
- $ i $ é a taxa de juros mensal (5% ou 0,05)
- $ t $ é o tempo em meses que queremos descobrir
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ (1 + 0,05)^t $:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ t $, precisamos usar logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
Passo 6
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 7
Isolando $ t $:
Passo 8
Agora, vamos calcular os logaritmos:
- $ \ln(1,71) \approx 0,5365 $
- $ \ln(1,05) \approx 0,0488 $
Então:
Resposta
O empréstimo será quitado em aproximadamente 11 meses.