Em que prazo um empréstimo de pode ser quitado em um único pagamento de pode ser quitado em um único pagamento de , sabendo-se que a taxa contratada é de , sabendo-se que a taxa contratada é de ao mês?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um empréstimo de R$ 30.000,00 que precisa ser pago de uma só vez no valor de R$ 51.310,18. A taxa de juros contratada é de 5% ao mês. Vamos usar os conceitos de Juros Compostos para descobrir em quantos meses isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a fórmula dos Juros Compostos, que é:
VF = VP times (1 + i)^t
Onde:
  • $ VF $ é o Valor Futuro (R$ 51.310,18)
  • $ VP $ é o Valor Presente ou inicial (R$ 30.000,00)
  • $ i $ é a taxa de juros mensal (5% ou 0,05)
  • $ t $ é o tempo em meses que queremos descobrir

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula:
51.310,18 = 30.000,00 times (1 + 0,05)^t

Passo 4

Agora, vamos isolar $ (1 + 0,05)^t $:
(1 + 0,05)^t

Passo 5

Para encontrar o valor de $ t $, precisamos usar logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
t

Passo 6

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
t times ln(1,05) = ln(1,71)

Passo 7

Isolando $ t $:
t

Passo 8

Agora, vamos calcular os logaritmos:
  • $ \ln(1,71) \approx 0,5365 $
  • $ \ln(1,05) \approx 0,0488 $
Então:
ln(1,71) approx 0,5365

Resposta

O empréstimo será quitado em aproximadamente 11 meses.

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