Pré-Cálculo: Prof Rafael
Lista de exercicios 2: Expressões e Equações Algébricas
Resolva a equação polinomial x^{3}+3 x^{2}-3 x-9=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial de grau 3
x^{3} + 3x^{2} - 3x - 9 = 0
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios usando teste de raízes racionais e divisão de polinômios, seguido de resolução de equação quadrática.

Passo 2

Aplicamos o Teste de Raízes Racionais: as possíveis raízes são divisores de -9, ou seja \pm1, \pm3, \pm9. Testamos x=-3:
(-3)^{3} + 3(-3)^{2} - 3(-3) - 9 = -27 + 27 + 9 - 9 = 0,
logo x=-3 é raiz, e (x+3) é um fator do polinômio.

Passo 3

Dividindo o polinômio original por (x+3) (por divisão sintética ou longa), obtemos quociente
x^{2} - 3
e resto zero. Assim
x^{3} + 3x^{2} - 3x - 9 = (x+3)(x^{2} - 3).

Passo 4

Resolvemos agora a equação quadrática x^{2} - 3 = 0. Usando extração de raiz,
x^{2} = 3
implica
x = \pm \sqrt{3}.

Resposta

As raízes da equação são
x = -3,\quad x = \sqrt{3},\quad x = -\sqrt{3}.

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