(Pré-relatório) Desenhe superfícies equipotenciais para as seguintes três configurações: (a) duas placas condutoras paralelas infinitas, (b) duas cargas pontuais, e (c) uma carga pontual em frente a uma placa condutora infinita.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as superfícies equipotenciais – isto é, os conjuntos de pontos onde o potencial eletrostático V tem um mesmo valor – nas três situações: (a) duas placas condutoras paralelas infinitas com uma diferença de potencial, (b) duas cargas pontuais isoladas no espaço, e (c) uma carga pontual diante de uma placa condutora infinita mantida em potencial zero. Para isso usamos a definição de potencial de uma carga pontual, a superposição de potenciais e, no caso (c), o método da imagem.

Passo 2

No caso (a), entre duas placas paralelas infinitas mantidas em potencial fixo \,V=0 e \,V=V_0, o campo elétrico \mathbf{E} é uniforme e normal às placas. Como \mathbf{E}=-\nabla V e \mathbf{E} tem direção fixa, as equipotenciais são planos paralelos às placas. A distância entre duas superfícies V=\text{const} e V=\text{const} + \Delta V é uniforme e dada por \Delta s = \Delta V/|\mathbf{E}|. Logo, basta traçar vários planos paralelos às placas, igualmente espaçados.

Passo 3

No caso (b), duas cargas pontuais q_1 e q_2 geram
V(\mathbf{r}) = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2},
onde r_i é a distância até a carga q_i. As superfícies V(\mathbf{r})=C são de revolução ao redor do eixo que une as cargas. Para q_1 e q_2 de mesmo sinal, existem “bolhas” ao redor de cada carga quando C é muito grande, que depois se deformam e podem abranger as duas cargas para C menor. Para cargas de sinais opostos, há uma superfície de nível C=0 que passa pelo ponto de sela entre elas (próximo ao plano médio), e superfícies fechadas ao redor de cada carga para C\neq0.

Passo 4

No caso (c), uma carga q em frente a uma placa condutora infinita (mantida em V=0) pode ser tratada com o método da imagem: substituímos a placa por uma carga imagem -q, simétrica em relação ao plano da placa. O potencial para a região onde está q é
V(\mathbf{r}) = k\Bigl(\frac{q}{r}\;-\;\frac{q}{r'}\Bigr),
onde r é a distância até q real e r' a distância até a imagem. As equipotenciais V=C são iguais às do par de cargas q e -q, mas só consideramos o lado da carga real. Essas superfícies interceptam o plano condutor sempre ortogonalmente, garantindo V=0 na placa.

Resposta

(a) Planos paralelos às placas, igualmente espaçados.
(b) Superfícies de revolução definidas por
k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2}=C,
com bolhas isoladas em torno das cargas para C grande e superfícies que englobam as duas cargas ou que cortam o ponto de sela (quando de sinais opostos).
(c) Superfícies idênticas às do par carga real q e imagem -q, cortadas pelo plano condutor; são curvas fechadas que se deformam mais perto da placa e atingem o plano ortogonalmente, satisfazendo V=0 na placa.

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