Ao se determinar o período de oscilação de um OHS em um primeiro momento o efeito da massa da mola foi desprezado. O efeito da massa da mola altera o período de oscilação, responda considerando a conservação da energia para o sistema massa-mola se para uma mesma força aplicada inicialmente ( considere para este fim a comparação com o OHS ideal, onde é assumido que \boldsymbol{M}_{\text {mola }}=0 ), o que acontece com a frequência de oscilação \boldsymbol{\omega} da massa ( m ) acoplada a mola ( desconsidere a dissipação devido as forças de atrito).
Escolha uma opção: \bigcirc a. A frequência de oscilação é inalterada \bigcirc b. A frequência de oscilação é maior \bigcirc c. A frequência de oscilação independe da massa da mola \boldsymbol{m}^{\prime} \bigcirc d. A frequência de oscilação independe do período \bigcirc e. A frequência de oscilação é menor
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o que acontece com a frequência de oscilação \omega de uma massa \;m\; ligada a uma mola quando, ao contrário do caso ideal, a massa da mola não é desprezada. As condições e informações dadas são:
Comparação com o caso ideal em que a massa da mola é nula (M_{\text{mola}}=0).
A mesma força inicial é aplicada nos dois casos (interpreto isso como mesma amplitude inicial de oscilação).
Não há dissipação por atrito (energia é conservada).
A pergunta é se \omega aumenta, diminui, ou fica inalterada quando a mola tem massa \;m'\;.
Não há outras informações geométricas explícitas sobre a mola, então vou considerar a hipótese padrão — mola uniforme de massa total \;m'\; e comprimento L presa numa extremidade e com a outra ligada à massa m.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma didática, como se obtém a frequência para o OHS ideal (mola sem massa). Quando a massa \;m\; oscila com amplitude A, a energia potencial máxima na mola é
\frac{1}{2}kA^{2},
onde k é a constante elástica da mola. A energia cinética máxima da massa ocorre ao passar pela posição de equilíbrio e vale
\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
Conservando energia (transformação total de energia potencial em cinética),
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
Como a velocidade máxima está relacionada à frequência por v_{\max}=\omega A, substituímos e obtemos
Logo, no caso ideal sem massa da mola, a frequência é \displaystyle \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}. Isso serve como referência.
Passo 3
Agora vamos considerar a mola com massa total \;m'\;. Ideia física: partes diferentes da mola não se movem com a mesma velocidade durante a oscilação — a extremidade presa é fixa e a extremidade ligada à massa move-se com velocidade máxima v_{\max}. Para calcular a energia cinética total precisamos somar (integrar) a contribuição de cada fatia da mola.
Modelagem simples e padrão (usada muitas vezes em exames): a mola é homogênea, tem comprimento L e massa por unidade de comprimento \rho=m'/L. Se a extremidade ligada à massa tem velocidade instantânea v, a velocidade de um ponto da mola a uma distância x da extremidade fixa é proporcional a x (assumindo modo de deformação quase linear): a velocidade local é
v(x)=\frac{x}{L}\,v.
Vou explicar: quando a extremidade móvel desloca uma distância pequena, a distribuição de deslocamentos ao longo da mola pode ser aproximada por uma função linear do espaço entre a extremidade fixa (deslocamento zero) e a móvel (deslocamento máximo). Diferentes hipóteses de perfil dão constantes diferentes, mas a hipótese linear é a mais usual para mola leve conectada a massa.
Passo 4
Calculemos a energia cinética da mola integrando as contribuições de cada fatia de comprimento dx. Uma fatia tem massa dm=\rho\,dx e energia cinética dK=\tfrac{1}{2}dm\,[v(x)]^{2}. Assim
Isso significa que a mola, por ter massa distribuída, contribui com uma energia cinética equivalente à de uma massa concentrada igual a \displaystyle \frac{m'}{3} movendo-se com velocidade v. Por isso costuma-se falar que a massa efetiva do sistema é m_{\text{efetiva}}=m+\dfrac{m'}{3}.
Passo 6
Agora somamos as energias cinéticas máximas da massa e da mola (no instante de máxima velocidade, a energia potencial é zero e a cinética total é máxima). Temos
Compare com o caso ideal \omega_{0}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Como \dfrac{m'}{3}>0 quando a mola tem massa, o denominador m+\dfrac{m'}{3} é maior que m. Assim
Portanto a presença da massa da mola diminui a frequência de oscilação.
Passo 9
Intuição final e exemplo numérico rápido (para animar): adicionar massa é aumentar a “inércia” que precisa ser acelerada — isso torna as oscilações mais lentas. Ex.: se m=1{,}0\\ \text{kg}, m'=0{,}3\\ \text{kg} então m_{\text{efetiva}}=1{,}0+0{,}3/3=1{,}1\\ \text{kg} e \omega cai em um fator \sqrt{1/1{,}1}\approx0{,}95 em relação ao caso ideal.