Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo \iint_{S} F d S quando F(x, y, z)= \left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right) e S é a esfera de raio 2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right) através da superfície S que é a esfera de raio 2 dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.\n
Informações dadas e claras: \n
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right).\n
  • A superfície S é a esfera de raio 2, isto é, a fronteira do sólido V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}.\n
  • A esfera é uma superfície fechada; o enunciado pede o fluxo de F através de S (entenderemos a orientação padrão: para fora do sólido).

Passo 2

Lembrete (explicado): o que é fluxo e o que nos permite usar aqui.\n
  • Fluxo através de uma superfície fechada é o integral de superfície \iint_{S} F\cdot n\,dS, onde n é a normal exterior. É uma medida de quanto o campo “sai” do volume.\n
  • O Teorema da Divergência (que vamos usar) afirma o seguinte: para um campo vetorial F suficientemente suave e uma região sólida V com fronteira orientada para fora S=\partial V, temos
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV.
Aqui \operatorname{div}F é a divergência do campo e dV é o elemento de volume. Vou aplicar esse teorema porque S é a esfera (fechada) e F é polinomial (logo suave).

Passo 3

Calcular a divergência do campo F.\n
  • Definição: para F=(F_1,F_2,F_3), a divergência é
\operatorname{div}F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • No nosso caso F_1=x^{3}, F_2=y^{3}, F_3=z^{3}. Então
\operatorname{div}F = \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) + \frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) + \frac{\partial}{\partial z}(z^{3}).
  • Derivando: \frac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2}, análogo para os outros. Logo
\operatorname{div}F = 3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} = 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 4

Transformar a integral de volume usando simetria e coordenadas mais convenientes.\n
  • O volume V\) é a bola de raio \(2\): \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\). A divergência que achamos depende apenas de \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\), ou seja, é radial (só depende da distância ao centro). Isso é ótimo para usar coordenadas esféricas.\n - Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \(\,r,\varphi,\theta\) definidas por: \[\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y = r\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z = r\cos\varphi, \end{cases}
onde r\ge 0\] é a distância ao origem, \(\varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.]

Passo 5

Jacobiano e limites das integrais em esféricas.\n
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Explicando: r^{2}\sin\varphi é o fator de escala (Jacobian) que transforma o diferencial dr\,d\varphi\,d\theta em volume no espaço tridimensional.\n
  • Para a bola de raio 2, os limites são:
0\le r\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \pi,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 6

Escrever explicitamente a integral tripla que representa o fluxo, usando o Teorema da Divergência.\n
  • Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{S} F\cdot n\,dS = \iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV.
  • Substituindo \operatorname{div}F = 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) e trocando para esféricas, onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, obtemos
\iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV = \iiint_{V} 3r^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} 3r^{2}\; r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Simplificando o integrando: 3r^{2}\cdot r^{2}\sin\varphi = 3r^{4}\sin\varphi. Então a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} 3r^{4}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r (parte radial).\n
  • Primeiro, a integral em r é
\int_{0}^{2} 3r^{4}\,dr = 3\int_{0}^{2} r^{4}\,dr.
  • Usamos a fórmula de potência: \int r^{n}\,dr = \dfrac{r^{n+1}}{n+1}. Aqui n=4, então
\int_{0}^{2} r^{4}\,dr = \left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5}-0 = \frac{32}{5}.
  • Multiplicando pelo 3,
\int_{0}^{2} 3r^{4}\,dr = 3\cdot\frac{32}{5} = \frac{96}{5}.

Passo 8

Calcular as integrais angulares em \varphi e \theta.\n
  • A integral total separa-se porque o integrando já teve a parte radial integrada. Temos agora
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi\right)\cdot \frac{96}{5}.
  • Calcule cada uma:\n
    \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.\n
    \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.

Passo 9

Combinar todos os fatores e simplificar.\n
  • Multiplicando os resultados:
\text{fluxo} = \frac{96}{5}\cdot (2\pi)\cdot 2.
  • Primeiro (2\pi)\cdot 2 = 4\pi. Então
\text{fluxo} = \frac{96}{5}\cdot 4\pi = \frac{384\pi}{5}.
  • Podemos checar rapidamente a coerência dimensional: tudo é número real e não dependente de posição porque a simetria e o polinômio produziram um valor escalar final.

Passo 10

Interpretação final e encorajamento.\n
  • O fluxo através da esfera de raio 2 do campo F(x,y,z)=(x^{3},y^{3},z^{3}) é \dfrac{384\pi}{5}.\n
  • Bom trabalho em acompanhar cada etapa! Se você tiver dúvida em coordenadas esféricas, Jacobiano ou na aplicação do Teorema da Divergência, a gente revisa essa parte com exemplos mais simples.

Resposta

\dfrac{384\pi}{5}

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