Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo \iint_{S} F d S quando F(x, y, z)= \left(x^{3}, y^{3}, z^{3}\right) e S é a esfera de raio 2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right) através da superfície S que é a esfera de raio 2 dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.\n
Informações dadas e claras: \n
O campo vetorial é F(x,y,z)=\left(x^{3},y^{3},z^{3}\right).\n
A superfície S é a esfera de raio 2, isto é, a fronteira do sólido V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\}.\n
A esfera é uma superfície fechada; o enunciado pede o fluxo de F através de S (entenderemos a orientação padrão: para fora do sólido).
Passo 2
Lembrete (explicado): o que é fluxo e o que nos permite usar aqui.\n
Fluxo através de uma superfície fechada é o integral de superfície \iint_{S} F\cdot n\,dS, onde n é a normal exterior. É uma medida de quanto o campo “sai” do volume.\n
O Teorema da Divergência (que vamos usar) afirma o seguinte: para um campo vetorial F suficientemente suave e uma região sólida V com fronteira orientada para fora S=\partial V, temos
Aqui \operatorname{div}F é a divergência do campo e dV é o elemento de volume. Vou aplicar esse teorema porque S é a esfera (fechada) e F é polinomial (logo suave).
Transformar a integral de volume usando simetria e coordenadas mais convenientes.\n
O volume V\) é a bola de raio \(2\): \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\). A divergência que achamos depende apenas de \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\), ou seja, é radial (só depende da distância ao centro). Isso é ótimo para usar coordenadas esféricas.\n
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \(\,r,\varphi,\theta\) definidas por:
\[\begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y = r\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z = r\cos\varphi, \end{cases}
onde r\ge 0\] é a distância ao origem, \(\varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.]
Passo 5
Jacobiano e limites das integrais em esféricas.\n
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Explicando: r^{2}\sin\varphi é o fator de escala (Jacobian) que transforma o diferencial dr\,d\varphi\,d\theta em volume no espaço tridimensional.\n
Podemos checar rapidamente a coerência dimensional: tudo é número real e não dependente de posição porque a simetria e o polinômio produziram um valor escalar final.
Passo 10
Interpretação final e encorajamento.\n
O fluxo através da esfera de raio 2 do campo F(x,y,z)=(x^{3},y^{3},z^{3}) é \dfrac{384\pi}{5}.\n
Bom trabalho em acompanhar cada etapa! Se você tiver dúvida em coordenadas esféricas, Jacobiano ou na aplicação do Teorema da Divergência, a gente revisa essa parte com exemplos mais simples.