O preço p (em reais) de um par de tênis Mike está variando a uma taxa dada por P^prime(x)=-150 cdot x(144+x^2)^3 / 2 onde x (em centenas de unidades) é o número de pares vendidos. Suponha que 500 pares de tênis (x=5) sejam vendidos quando o preço é de RS 75,00 o par:
Determine a função de demanda p(x).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve como o preço $ p $ de um par de tênis Mike varia de acordo com o número de pares vendidos $ x $. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especialmente integração, para encontrar a função demanda $ p(x) $. Precisaremos usar técnicas de integração e aplicar condições dadas para resolver o problema.

Passo 2

A função derivada do preço em relação a $ x $ é dada por:
x
Para encontrar a função demanda $ p(x) $, precisamos integrar $ P’(x) $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos escrever a integral de $ P’(x) $:
P'(x)
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 4

Definimos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 144 + x^2
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u

Passo 5

Substituímos $ u $ e $ dx $ na integral:
u

Passo 6

Agora, integramos $ u^{-3/2} $:
u^-3/2
Multiplicando pelo coeficiente:
integral u^-3/2 , du = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C

Passo 7

Substituímos de volta $ u = 144 + x^{2} $:
u = 144 + x^2

Passo 8

Usamos a condição dada: quando $ x = 5 $ (500 pares vendidos), o preço $ p = 75 $. Substituímos esses valores na função:
x = 5
Simplificando:
p = 75
Calculando $ \frac{150}{13} \approx 11,54 $:
75 = 150raiz144 + 5^2 + C

Passo 9

Agora, substituímos o valor de $ C $ na função $ p(x) $:
C

Resposta

A função de demanda é:
p(x) = 150raiz144 + x^2 + 63,46

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