O preço p (em reais) de um par de tênis Mike está variando a uma taxa dada por
onde x (em centenas de unidades) é o número de pares vendidos. Suponha que 500 pares de tênis
sejam vendidos quando o preço é de RS 75,00 o par:
Determine a função de demanda
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Determine a função de demanda
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve como o preço $ p $ de um par de tênis Mike varia de acordo com o número de pares vendidos $ x $. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especialmente integração, para encontrar a função demanda $ p(x) $. Precisaremos usar técnicas de integração e aplicar condições dadas para resolver o problema.
Passo 2
A função derivada do preço em relação a $ x $ é dada por:
Para encontrar a função demanda $ p(x) $, precisamos integrar $ P’(x) $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos escrever a integral de $ P’(x) $:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição.
Passo 4
Definimos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 5
Substituímos $ u $ e $ dx $ na integral:
Passo 6
Agora, integramos $ u^{-3/2} $:
Multiplicando pelo coeficiente:
Passo 7
Substituímos de volta $ u = 144 + x^{2} $:
Passo 8
Usamos a condição dada: quando $ x = 5 $ (500 pares vendidos), o preço $ p = 75 $. Substituímos esses valores na função:
Simplificando:
Calculando $ \frac{150}{13} \approx 11,54 $:
Passo 9
Agora, substituímos o valor de $ C $ na função $ p(x) $:
Resposta
A função de demanda é: