Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Isso é uma equação de primeira ordem do tipo separável, pois podemos escrever
e separar as variáveis.
Passo 2
Reescrevendo
, separamos as variáveis: colocamos todos os termos em
do lado de
e
do lado de
. Ficamos com
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, usamos decomposição em frações parciais. Observamos que
Passo 4
Calculando
(ou lembrando da forma conhecida), vemos que
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Passo 6
O resultado das integrais é
em que
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Passo 8
Portanto a solução geral é
$$
x(t)=\pm\sqrt{\frac{Ke{2t}}{1-Ke{2t}}},$$com
constante de integração.