Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dxdt-x^3=x. Isso é uma equação de primeira ordem do tipo separável, pois podemos escrever dxdt=x+x^3 e separar as variáveis.

Passo 2

Reescrevendo dxdt=x(1+x^2), separamos as variáveis: colocamos todos os termos em x do lado de dx e t do lado de dt. Ficamos com
dxx(1+x^2)=dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos decomposição em frações parciais. Observamos que
1x(1+x^2)=Ax+Bx+C1+x^2

Passo 4

Calculando A, B, C (ou lembrando da forma conhecida), vemos que
1x(1+x^2)=1x-x1+x^2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integrall(1x-x1+x^2r)dx=integral dt

Passo 6

O resultado das integrais é
ln|x| - 12ln(1+x^2)=t+C,
em que C é a constante de integração. Para simplificar, podemos juntar os logaritmos e exponenciar:
lnl(x^21+x^2r)=2t+2CLongrightarrowx^21+x^2=Ke^2t,onde K=e^2C é outra constante arbitrária.

Passo 7

Finalmente, isolamos x:
x^2=Ke^2t(1+x^2) Longrightarrow x^2l(1-Ke^2tr)=Ke^2t Longrightarrow x^2=Ke^2t1-Ke^2t

Passo 8

Portanto a solução geral é
$$
x(t)=\pm\sqrt{\frac{Ke{2t}}{1-Ke{2t}}},$$com x(t)=pmraizKe^2t1-Ke^2t, constante de integração.

Resposta

x(t)=pmraizdfracK e^2t1-K e^2t, onde K é a constante de integração.

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