Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=3x^2(1+y^2)^3/2. O tema é equações diferenciais de variáveis separáveis, e vamos precisar lembrar como separar variáveis e calcular integrais simples.

Passo 2

Separe as variáveis colocando tudo com y de um lado e tudo com x do outro. Temos:
dy(1+y^2)^3/2=3x^2,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo, reconhecemos que a derivada de yraiz1+y^2 é (1+y^2)^-3/2. Assim,
integral(1+y^2)^-3/2dy= racyraiz1+y^2 + C1
E no lado direito
integral3x^2dx=x^3 + C2

Passo 4

Juntando as integrais e absorvendo C1 e C2 num único constante C, ficamos com
yraiz1+y^2=x^3 + C

Passo 5

Para expor y isoladamente, elevamos ao quadrado:
y^2=(x^3+C)^2(1+y^2)
que leva a
y^2igl[1-(x^3+C)^2r]=(x^3+C)^2 
Logo
y^2=(x^3+C)^21-(x^3+C)^2

Passo 6

Extraímos a raiz para obter a expressão geral da solução:
y=pmx^3 + Craiz1-(x^3 + C)^2
Essa é a família de soluções da equação diferencial dada.

Resposta

y=pmdfracx^3 + Craiz1-(x^3 + C)^2, onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados