O preço p (em reais) de um par de tênis Mike está variando a uma taxa dada por P^prime(x)=-150 cdot x(144+x^2)^3 / 2 onde x (em centenas de unidades) é o número de pares vendidos. Suponha que 500 pares de tênis (x=5) sejam vendidos quando o preço é de RS 75,00 o par:
Quantos pares serão vendidos se o preço do par for RS 90,00?

Passo 1

O enunciado diz que o preço por par de tênis Mike varia segundo a taxa de variação P'(x)=-150,x(144+x^2)^3/2, onde x (em centenas) é o número de pares vendidos. Em x=5 (500 pares) o preço é R$ 75,00. Precisamos achar quantos pares (qual 75,00 Precisamos achar quantos pares (qual ) fariam o preço ser R$ 90,00. Para isso vamos integrar ) fariam o preço ser R para obter P'(x), usar P(x) para achar a constante e depois resolver P(5)=75.

Passo 2

Para encontrar a função preço P(x), integramos a derivada:
P(x)=integral P'(x),dx=integral -150,x(144+x^2)^3/2,dx
Fazendo a substituição u=144+x^2 (de modo que du=2x,dx), obtemos:
P(x)=-150integral x(144+x^2)^3/2,dx=-75integral u^-3/2,du=150,u^-1/2+C=150raiz144+x^2+C

Passo 3

Usando a condição P(5)=75:
150raiz144+5^2+C=75 Rightarrow 15013+C=75 Rightarrow C=75-15013=82513
Logo a função preço é:
P(x)=150raiz144+x^2+82513

Passo 4

Agora tentamos resolver P(x)=90:
150raiz144+x^2+82513=90
Rearranjando, obtemos
150raiz144+x^2=90-82513=34513>0
Mas isso levaria a raiz144+x^2=150cdot13345=13023approx5,65,
cujo quadrado =31,95 é menor que 144, gerando x^2<0, impossível em números reais.

Passo 5

Além disso, como P'(x)<0 para x>0, a função preço é estritamente decrescente em x>=0. O valor máximo ocorre em x=0:
P(0)=15012+82513approx75,96<90
Portanto nunca se atinge preço de R$ 90,00 para nenhum 90,00 para nenhum .

Resposta

Não existe valor real de x ( x>=0) tal que P(x)=90. Logo, não há quantidade de pares vendidos que leve o preço ao patamar de R$ 90,00.

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