Questão 1
a) Encontre todos os pontos críticos de f
b) Classifique estes pontos críticos: máximo local e ponto sela
a) Encontre todos os pontos críticos de f
b) Classifique estes pontos críticos: máximo local e ponto sela
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = 10x^{2} + 30xy + 25y^{2} + 8y^{5} $ e depois classificar esses pontos como máximo local ou ponto de sela. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial F}{\partial x} $ e $ \frac{\partial F}{\partial y} $ e igualar a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
E a derivada parcial em relação a $ y $:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. A partir da equação (1):
Substituindo $ x = -\frac{3}{2}y $ na equação (2):
Simplificando:
Fatorando:
Portanto, temos duas possibilidades:
Passo 5
Resolvendo $ 5 + 40y^{3} = 0 $:
Agora, substituindo os valores de $ y $ encontrados na expressão $ x = -\frac{3}{2}y $:
- Para $ y = 0 $:
- Para $ y = -\frac{1}{2} $:
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 7
Vamos calcular $ D $ em cada ponto crítico:
- No ponto $ (0, 0) $:
Como $ D > 0 $ e $ F_{xx} > 0 $, o ponto é um mínimo local.
- No ponto $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $:
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
Resposta
a) Os pontos críticos da função são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $.
b) O ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local e o ponto $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $ é um ponto de sela.