Questão 1
F(x, y)=10 x^2+30 x y+25 y^2+8 y^5
a) Encontre todos os pontos críticos de f
b) Classifique estes pontos críticos: máximo local e ponto sela

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função $ F(x, y) = 10x^{2} + 30xy + 25y^{2} + 8y^{5} $ e depois classificar esses pontos como máximo local ou ponto de sela. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial F}{\partial x} $ e $ \frac{\partial F}{\partial y} $ e igualar a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $:
partial Fpartial x = 20x + 30y
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y
partial Fpartial y = 30x + 50y + 40y^4

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. A partir da equação (1):
20x = -30y implies x = -32y
Substituindo $ x = -\frac{3}{2}y $ na equação (2):
x = -32y
Simplificando:
30(-32y) + 50y + 40y^4 = 0
Fatorando:
-45y + 50y + 40y^4 = 0 implies 5y + 40y^4 = 0
Portanto, temos duas possibilidades:
y(5 + 40y^3) = 0

Passo 5

Resolvendo $ 5 + 40y^{3} = 0 $:
5 + 40y^3 = 0
Agora, substituindo os valores de $ y $ encontrados na expressão $ x = -\frac{3}{2}y $:
  • Para $ y = 0 $:
40y^3 = -5 implies y^3 = -18 implies y = -12
  • Para $ y = -\frac{1}{2} $:
y
Então, os pontos críticos são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $.

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Fxx = 20
Fxy = 30
Fyy = 50 + 160y^3
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 7

Vamos calcular $ D $ em cada ponto crítico:
  1. No ponto $ (0, 0) $:
D
(0, 0)
Como $ D > 0 $ e $ F_{xx} > 0 $, o ponto é um mínimo local.
  1. No ponto $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $:
Fyy = 50 + 160(0)^3 = 50
D = 20 times 50 - 30^2 = 1000 - 900 = 100 > 0
Como $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.

Resposta

a) Os pontos críticos da função são $ (0, 0) $ e $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $.
b) O ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local e o ponto $ \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right) $ é um ponto de sela.

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