preço
por unidade de um produto, quando
unidades (em milhares) são produzidas, é modelado pela função:
A receita (em milhões de reais) é o produto do preço por unidade pela quantidade (em milhares) vendida. Isto é,
(a) Represente graficamente a receita para uma produção de 0 a 100.000 unidades.
(b) Quantas unidades deveriam ser produzidas para a receita total ser de
1.000.000.000,00?
Passo 1
O enunciado dá a relação entre preço por unidade (em mil reais) e produção
(em milhares de unidades):
A receita
(em milhões de reais) é
O conteúdo é função quadrática e vamos precisar identificar interceptos, vértice e comportamento no intervalo pedido.
Passo 2
Escrevendo explicitamente
vemos que é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de
negativo). Os zeros ocorrem em
logo em
e em
(isto é,
milhares de unidades).
Passo 3
O vértice da parábola ocorre em
aqui
e
, logo
(milhares de unidades). O valor máximo de receita é
(milhões de reais).
Passo 4
Para representar graficamente em
(i.e.\ de 0 a
unidades):
- Em
, . - Em
,
- A parábola é crescente em todo esse intervalo (pois o vértice está em
).
Assim o gráfico é uma curva suave, concava para baixo, que parte dee sobe até .
Passo 5
Para
(mil milhões = um bilhão de reais) resolvemos
Multiplicando por
e reorganizando,
Multiplicando tudo por 40 para eliminar decimais,
O discriminante é
As soluções são
Passo 6
Esses valores estão em milhares de unidades. Portanto,
Note que dentro do intervalo de 0 a
unidades não há solução, mas teoricamente a receita atinge R$
quando se produz cerca de
ou
unidades.
Resposta
(a) Gráfico de
em
, parábola concava para baixo subindo de
a
.
(b) As soluções são aproximadamente
milhares de unidades (
unidades) ou
milhares de unidades (
unidades).