O preço p por unidade de um produto, quando x unidades (em milhares) são produzidas, é modelado pela função:
\text { preço }=p=12-0,025 xç
A receita (em milhões de reais) é o produto do preço por unidade pela quantidade (em milhares) vendida. Isto é,
\text { Receita }=x p=x(12-0,025 x)
(a) Represente graficamente a receita para uma produção de 0 a 100.000 unidades.
(b) Quantas unidades deveriam ser produzidas para a receita total ser de \mathrm{R} \$ 1.000.000.000,00?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre preço por unidade (em mil reais) e produção x (em milhares de unidades):
p = 12 - 0,025\,x.
A receita R (em milhões de reais) é
R(x) = x \,p = x\,(12 - 0,025\,x).
O conteúdo é função quadrática e vamos precisar identificar interceptos, vértice e comportamento no intervalo pedido.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
R(x) = 12\,x - 0,025\,x^2,
vemos que é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Os zeros ocorrem em
12\,x - 0,025\,x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(12 - 0,025\,x)=0
logo em x=0 e em
12 - 0,025\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{12}{0,025} = 480
(isto é, 480 milhares de unidades).

Passo 3

O vértice da parábola ocorre em
x_v = \frac{-b}{2a} \quad\text{em }R(x)=a x^2 + b x + c,
aqui a=-0,025 e b=12, logo
x_v = \frac{-12}{2\cdot(-0,025)} = \frac{12}{0,05} = 240
(milhares de unidades). O valor máximo de receita é
R(240) = 240\bigl(12 - 0,025\cdot240\bigr) =240\cdot6 = 1440
(milhões de reais).

Passo 4

Para representar graficamente em 0\le x\le100 (i.e.\ de 0 a 100000 unidades):
  • Em x=0, R(0)=0.
  • Em x=100,
R(100)=100\bigl(12 - 0,025\cdot100\bigr) =100\cdot(12 - 2,5)=100\cdot9,5=950.
  • A parábola é crescente em todo esse intervalo (pois o vértice está em x=240>100).
    Assim o gráfico é uma curva suave, concava para baixo, que parte de (0,0) e sobe até (100,950).

Passo 5

Para R(x)=1000 (mil milhões = um bilhão de reais) resolvemos
12\,x - 0,025\,x^2 = 1000 \quad\Longrightarrow\quad -0,025\,x^2 +12\,x -1000=0.
Multiplicando por -1 e reorganizando,
0,025\,x^2 -12\,x +1000=0.
Multiplicando tudo por 40 para eliminar decimais,
x^2 -480\,x +40000=0.
O discriminante é
\Delta = 480^2 -4\cdot1\cdot40000 =230400 -160000 =70400,
\sqrt{\Delta}\approx265,53.
As soluções são
x = \frac{480 \pm 265,53}{2} \;\Longrightarrow\; x_1\approx \frac{480-265,53}{2}\approx107,23, \; x_2\approx \frac{480+265,53}{2}\approx372,77.

Passo 6

Esses valores estão em milhares de unidades. Portanto,
x_1\approx 107,23\text{ mil unidades}\approx 107\,230\text{ unidades},
x_2\approx 372,77\text{ mil unidades}\approx 372\,770\text{ unidades}.
Note que dentro do intervalo de 0 a 100000 unidades não há solução, mas teoricamente a receita atinge R$ 1000000000,00 quando se produz cerca de 107230 ou 372770 unidades.

Resposta

(a) Gráfico de R(x)=12x-0,025x^2 em 0\le x\le100, parábola concava para baixo subindo de (0,0) a (100,950).
(b) As soluções são aproximadamente x\approx107{,}23 milhares de unidades ( 107230 unidades) ou x\approx372{,}77 milhares de unidades ( 372770 unidades).

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