Questão 1 (15 pts)- Determine os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos ou pontos de sela) da função:
sujeita à restrição:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
sujeito à restrição
sujeito à restrição
O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em introduzir um parâmetro
e montar a função de Lagrange
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero:
Isso gera o sistema
Passo 3
Das duas primeiras equações isolamos
e
:
Substituindo na restrição:
Para
obtemos
Para
obtemos
Passo 4
A função
em cada ponto vale:
Como a restrição define um círculo (conjunto compacto), esses valores são, respectivamente, máximo e mínimo globais. Não há pontos de sela sob essa restrição.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é ponto de máximo de valor
,
e , que é ponto de mínimo de valor
.
e