Questão 1 (15 pts)- Determine os pontos críticos e classifique-os (máximos, mínimos ou pontos de sela) da função: f(x, y)=3 x+4 y sujeita à restrição: x^{2}+y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=3x+4y
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}=25.
O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange, que consiste em introduzir um parâmetro \lambda e montar a função de Lagrange
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-25\bigr).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de L e igualamos a zero:
\frac{\partial L}{\partial x}=3-2\lambda x=0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=4-2\lambda y=0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-25)=0.
Isso gera o sistema
3-2\lambda x=0,\quad 4-2\lambda y=0,\quad x^{2}+y^{2}=25.

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos x e y:
x=\frac{3}{2\lambda}, \quad y=\frac{4}{2\lambda}=\frac{2}{\lambda}.
Substituindo na restrição:
\Bigl(\frac{3}{2\lambda}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{2}{\lambda}\Bigr)^{2}=25 \;\Longrightarrow\; \frac{9}{4\lambda^{2}}+\frac{4}{\lambda^{2}}=25 \;\Longrightarrow\; \frac{25}{4\lambda^{2}}=25 \;\Longrightarrow\; \lambda^{2}=\frac14 \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm\frac12.
Para \lambda=\tfrac12 obtemos
x=3,\quad y=4.
Para \lambda=-\tfrac12 obtemos
x=-3,\quad y=-4.

Passo 4

A função f em cada ponto vale:
f(3,4)=3\cdot3+4\cdot4=9+16=25, \quad f(-3,-4)=3\cdot(-3)+4\cdot(-4)=-9-16=-25.
Como a restrição define um círculo (conjunto compacto), esses valores são, respectivamente, máximo e mínimo globais. Não há pontos de sela sob essa restrição.

Resposta

Os pontos críticos são (3,4), que é ponto de máximo de valor 25,
e (-3,-4), que é ponto de mínimo de valor -25.

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