Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades / m^{2} por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de 8 unidades / m^{2} por dia, o piso, a uma taxa de 1 unidade / m^{2} por dia e o teto, a uma taxa de 5 unidades / m^{2} por dia. Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento, a altura deve ser no mínimo 4 m, e o volume, exatamente 4.000 m^{3}. Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor.

Passo 1

O problema pede: encontrar as dimensões de um prédio retangular (comprimento leste‑oeste, comprimento norte‑sul e altura) que minimizem a perda de calor, dado que:
  • as paredes leste e oeste perdem calor a 10 unidades /m^{2} por dia (cada uma);
  • as paredes norte e sul perdem calor a 8 unidades /m^{2} por dia (cada uma);
  • o piso perde a 1 unidade /m^{2} por dia;
  • o teto perde a 5 unidades /m^{2} por dia;
  • cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento (isto é, as duas dimensões horizontais não podem ser menores que 30 m);
  • a altura deve ser pelo menos 4 m;
  • o volume deve ser exatamente 4.000 m ^3.
Informações relevantes extraídas do enunciado (já prontas para usar na resolução):
  • vamos chamar de \,x a dimensão leste‑oeste (m), \,y a dimensão norte‑sul (m) e \,h a altura (m);
  • restrições: \,x\ge 30,\; y\ge 30,\; h\ge 4 e \,x y h = 4000;
  • objetivo: minimizar a perda de calor total por dia (função da área de cada face multiplicada pela taxa dada).

Passo 2

Escrever a perda de calor total C(x,y,h) em termos de x,y,h.
  • Área das paredes leste e oeste: cada uma tem área h\cdot y. Como há duas e a taxa é 10 por unidade de área, a contribuição total é
2\cdot 10\cdot (h y)=20\,h y.
  • Área das paredes norte e sul: cada uma tem área h\cdot x. Duas paredes com taxa 8 dão
2\cdot 8\cdot (h x)=16\,h x.
  • Piso (área x y) com taxa 1: contribuição 1\cdot x y = x y.
  • Teto (área x y) com taxa 5: contribuição 5\cdot x y =5 x y.
Somando tudo:
C(x,y,h)=16\,h x + 20\,h y + (1+5)\,x y = 16\,h x + 20\,h y + 6\,x y.
Aqui cada termo é explicado: o primeiro e o segundo vêm das paredes verticais (multiplicadas pelas suas taxas), o terceiro é piso+teto.

Passo 3

Escrever a restrição de volume:
x y h = 4000.
Essa é uma igualdade obrigatória. Ainda temos as desigualdades \,x\ge 30,\; y\ge 30,\; h\ge 4.
Estratégia: primeiro tentar encontrar o ponto crítico com a igualdade de volume (usando multiplicadores de Lagrange ou eliminando h); depois verificar as desigualdades (caso o ponto crítico viole alguma, teremos que tratar fronteiras).

Passo 4

Resolver o problema sem ainda impor explicitamente as desigualdades (uso de multiplicadores de Lagrange). Montamos o Lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,h,\lambda)=16 h x + 20 h y + 6 x y + \lambda(x y h - 4000).
As condições de estação (derivadas parciais nulas) são:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=16 h + 6 y + \lambda y h =0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=20 h + 6 x + \lambda x h =0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h}=16 x + 20 y + \lambda x y =0,
além de x y h = 4000.
Reescrevendo de forma conveniente (colocando o \lambda do outro lado):
16 h + 6 y = -\lambda y h,\qquad 20 h + 6 x = -\lambda x h,\qquad 16 x + 20 y = -\lambda x y.
(Nota: o sinal de \lambda não altera a técnica; vamos igualar as razões para eliminar \lambda.)
Dividindo a primeira igualdade pela segunda (para eliminar \lambda e h) e simplificando, obtemos
\frac{16 h + 6 y}{y h}=\frac{20 h + 6 x}{x h}\quad\Rightarrow\quad 16 x = 20 y \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{4}y.
Agora igualando, por exemplo, a primeira e a terceira condição para eliminar \lambda, obtemos
\frac{16 h + 6 y}{y h}=\frac{16 x + 20 y}{x y}\quad\Rightarrow\quad 6 x = 20 h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{3}{10}x.
Usando x=\tfrac{5}{4}y e h=\tfrac{3}{10}x na restrição de volume x y h=4000:
substituindo y=\tfrac{4}{5}x e h=\tfrac{3}{10}x,
x\cdot\frac{4}{5}x\cdot\frac{3}{10}x = 4000 \quad\Rightarrow\quad x^{3}\left(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{10}\right)=4000.
Calcule o coeficiente:
\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{10}=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}=0{,}24.
Então
0{,}24\,x^{3}=4000 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{4000}{0{,}24}=16666{,}666\ldots
Logo
x\approx 25{,}544\\ \text{m}.
Então
y=\frac{4}{5}x\approx 20{,}435\\ \text{m},\qquad h=\frac{3}{10}x\approx 7{,}663\\ \text{m}.
Verificação das desigualdades: esses valores não satisfazem x\ge 30 nem y\ge 30 (ambos ficam abaixo de 30), portanto o ponto crítico encontrado é inviável para o problema com as condições de mínima dimensão. Conclusão: o mínimo com a restrição de volume, sem os limites inferiores, fica fora da região permitida; portanto a solução do problema com as desigualdades será em uma fronteira onde pelo menos uma das desigualdades é ativa (igualdade).

Passo 5

Reduzir o problema usando a restrição de volume para eliminar h e trabalhar com x,y (isso facilita analisar bordas). Da restrição:
h=\frac{4000}{x y}.
Substituindo em C(x,y,h):
C(x,y)=16x\left(\frac{4000}{x y}\right)+20y\left(\frac{4000}{x y}\right)+6xy =\frac{64000}{y}+\frac{80000}{x}+6xy.
Agora o problema é minimizar
C(x,y)=\frac{64000}{y}+\frac{80000}{x}+6xy
sob x\ge 30,\; y\ge 30.

Passo 6

Procurar extremos internos (para ver se algum ponto viável interior dá mínimo). Derivadas parciais:
\frac{\partial C}{\partial x}=-\frac{80000}{x^{2}}+6y,\qquad \frac{\partial C}{\partial y}=-\frac{64000}{y^{2}}+6x.
Igualando a zero (caso interior) voltamos às condições que já deram o ponto do Passo 4; explicitamente resolvendo dá o mesmo par
\,x\approx 25{,}544,\; y\approx 20{,}435, que violam x\ge 30,\;y\ge 30. Portanto não há ponto crítico interior na região admissível; o mínimo ocorre numa fronteira do retângulo [30,\infty)\times[30,\infty).
As fronteiras a considerar são: x=30 com y\ge30, y=30 com x\ge30, ou ambas x=y=30. Também verificar possibilidade de h=4 ser ativa (mesmo que normalmente isso surge depois de usar h=4000/(xy)); testamos também essa fronteira porque h\ge4.

Passo 7

Analisar a fronteira y=30 (com x\ge30). Substituir y=30 em C(x,y):
C(x,30)=\frac{64000}{30}+\frac{80000}{x}+6x\cdot 30 =2133\frac{1}{3}+\frac{80000}{x}+180x.
Derivada em relação a x:
C'(x)=-\frac{80000}{x^{2}}+180.
Resolver C'(x)=0 x^{2}=\dfrac{80000}{180}=\dfrac{4000}{9}, ou x\approx 21{,}082, que é menor que 30. Portanto nesta fronteira a função decresce até esse ponto e depois cresce; como o mínimo está fora do intervalo permitido x\ge30, o mínimo restrito a x\ge30 ocorre no ponto de fronteira mais próximo, isto é em x=30. Também podemos checar C'(30)>0 (de fato C'(30)\approx 91{,}11>0), confirmando que em x=30 a função está já crescendo para a direita, logo o menor valor em x\ge30 é em x=30.

Passo 8

Analisar simetricamente a fronteira x=30 (com y\ge30). Substituir x=30 em C:
C(30,y)=\frac{80000}{30}+\frac{64000}{y}+6\cdot 30\cdot y =2666\frac{2}{3}+\frac{64000}{y}+180y.
A derivada em y dá condicionalmente um candidato y\approx 18{,}86<30. Pelo mesmo raciocínio, o mínimo nessa fronteira para y\ge30 ocorre em y=30.

Passo 9

Considerar a possibilidade da fronteira de altura h=4 ser ótima: então x y = 1000. Como também exigimos x\ge30,\\ y\ge30, os valores admissíveis de x ficam em [30,\;1000/30]\approx[30,\;33{,}333\ldots]. Substituindo y=1000/x em C (com h=4) dá
C(x)=64x + 80\left(\frac{1000}{x}\right) + 6\cdot 1000 = 64x + \frac{80000}{x} + 6000.
Derivada:
C'(x)=64 - \frac{80000}{x^{2}}.
Resolver C'(x)=0 x=\sqrt{1250}\approx 35{,}355, que está fora do intervalo permitido [30,33{,}333\ldots]. Como a derivada em todo o intervalo observado é negativa (isto é, a função decresce nesse intervalo), o mínimo ocorre no extremo direito x=1000/30=33\frac{1}{3} (com y=30). Calculando C nesse ponto obtemos um valor maior que o valor obtido quando x=y=30 (veja números no passo seguinte). Portanto a fronteira h=4 não fornece o mínimo global viável mais baixo.

Passo 10

Comparar candidatos encontrados nas fronteiras. O ponto em que ambas coordenadas horizontais estão na mínima permitida x=30,\; y=30 é viável e tem altura
h=\frac{4000}{30\cdot 30}=\frac{4000}{900}=\frac{40}{9}\\ \text{m}\approx 4{,}444\ldots\\ \text{m},
que satisfaz h\ge 4. Calcular a perda de calor nesse ponto (apenas para comparar):
C(30,30,h)=16 h x + 20 h y + 6 x y
com h=\tfrac{40}{9} e x=y=30. Fazendo as contas:
16\cdot\frac{40}{9}\cdot 30 + 20\cdot\frac{40}{9}\cdot 30 + 6\cdot 30\cdot 30 =2133\frac{1}{3}+2666\frac{2}{3}+5400=10200.
Esse valor é menor do que os valores testados em outras fronteiras (por exemplo, quando h=4 e x=33\frac{1}{3},y=30 obtivemos C\approx10533{,}33). Assim o ponto (x,y,h)=(30,30,\tfrac{40}{9}) é o minimizador admissível.

Resposta

x=30\\ \mathrm{m}
y=30\\ \mathrm{m}
h=\dfrac{40}{9}\\ \mathrm{m}

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