Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades
por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de 8 unidades
por dia, o piso, a uma taxa de 1 unidade
por dia e o teto, a uma taxa de 5 unidades
por dia. Cada parede deve ter pelo menos
de comprimento, a altura deve ser no mínimo
, e o volume, exatamente
. Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor.
Passo 1
O problema pede: encontrar as dimensões de um prédio retangular (comprimento leste‑oeste, comprimento norte‑sul e altura) que minimizem a perda de calor, dado que:
- as paredes leste e oeste perdem calor a
unidades por dia (cada uma); - as paredes norte e sul perdem calor a
unidades por dia (cada uma); - o piso perde a
unidade por dia; - o teto perde a
unidades por dia; - cada parede deve ter pelo menos
m de comprimento (isto é, as duas dimensões horizontais não podem ser menores que m); - a altura deve ser pelo menos
m; - o volume deve ser exatamente
m .
Informações relevantes extraídas do enunciado (já prontas para usar na resolução):
- vamos chamar de
a dimensão leste‑oeste (m), a dimensão norte‑sul (m) e a altura (m); - restrições:
e ; - objetivo: minimizar a perda de calor total por dia (função da área de cada face multiplicada pela taxa dada).
Passo 2
Escrever a perda de calor total
em termos de
.
- Área das paredes leste e oeste: cada uma tem área
. Como há duas e a taxa é por unidade de área, a contribuição total é
- Área das paredes norte e sul: cada uma tem área
. Duas paredes com taxa dão
- Piso (área
) com taxa : contribuição . - Teto (área
) com taxa : contribuição .
Somando tudo:
Aqui cada termo é explicado: o primeiro e o segundo vêm das paredes verticais (multiplicadas pelas suas taxas), o terceiro é piso+teto.
Passo 3
Escrever a restrição de volume:
Essa é uma igualdade obrigatória. Ainda temos as desigualdades
.
Estratégia: primeiro tentar encontrar o ponto crítico com a igualdade de volume (usando multiplicadores de Lagrange ou eliminando
); depois verificar as desigualdades (caso o ponto crítico viole alguma, teremos que tratar fronteiras).
Passo 4
Resolver o problema sem ainda impor explicitamente as desigualdades (uso de multiplicadores de Lagrange). Montamos o Lagrangiano
As condições de estação (derivadas parciais nulas) são:
além de
.
Reescrevendo de forma conveniente (colocando o
do outro lado):
(Nota: o sinal de
não altera a técnica; vamos igualar as razões para eliminar
.)
Dividindo a primeira igualdade pela segunda (para eliminar
e
) e simplificando, obtemos
Agora igualando, por exemplo, a primeira e a terceira condição para eliminar
, obtemos
Usando
e
na restrição de volume
:
substituindo e
,
substituindo
Calcule o coeficiente:
Então
Logo
Então
Verificação das desigualdades: esses valores não satisfazem
nem
(ambos ficam abaixo de
), portanto o ponto crítico encontrado é inviável para o problema com as condições de mínima dimensão. Conclusão: o mínimo com a restrição de volume, sem os limites inferiores, fica fora da região permitida; portanto a solução do problema com as desigualdades será em uma fronteira onde pelo menos uma das desigualdades é ativa (igualdade).
Passo 5
Reduzir o problema usando a restrição de volume para eliminar
e trabalhar com
(isso facilita analisar bordas). Da restrição:
Substituindo em
:
Agora o problema é minimizar
sob
.
Passo 6
Procurar extremos internos (para ver se algum ponto viável interior dá mínimo). Derivadas parciais:
Igualando a zero (caso interior) voltamos às condições que já deram o ponto do Passo 4; explicitamente resolvendo dá o mesmo par
, que violam
. Portanto não há ponto crítico interior na região admissível; o mínimo ocorre numa fronteira do retângulo
.
As fronteiras a considerar são:
com
,
com
, ou ambas
. Também verificar possibilidade de
ser ativa (mesmo que normalmente isso surge depois de usar
); testamos também essa fronteira porque
.
Passo 7
Analisar a fronteira
(com
). Substituir
em
:
Derivada em relação a
:
Resolver
dá
, ou
, que é menor que
. Portanto nesta fronteira a função decresce até esse ponto e depois cresce; como o mínimo está fora do intervalo permitido
, o mínimo restrito a
ocorre no ponto de fronteira mais próximo, isto é em
. Também podemos checar
(de fato
), confirmando que em
a função está já crescendo para a direita, logo o menor valor em
é em
.
Passo 8
Analisar simetricamente a fronteira
(com
). Substituir
em
:
A derivada em
dá condicionalmente um candidato
. Pelo mesmo raciocínio, o mínimo nessa fronteira para
ocorre em
.
Passo 9
Considerar a possibilidade da fronteira de altura
ser ótima: então
. Como também exigimos
, os valores admissíveis de
ficam em
. Substituindo
em
(com
) dá
Derivada:
Resolver
dá
, que está fora do intervalo permitido
. Como a derivada em todo o intervalo observado é negativa (isto é, a função decresce nesse intervalo), o mínimo ocorre no extremo direito
(com
). Calculando
nesse ponto obtemos um valor maior que o valor obtido quando
(veja números no passo seguinte). Portanto a fronteira
não fornece o mínimo global viável mais baixo.
Passo 10
Comparar candidatos encontrados nas fronteiras. O ponto em que ambas coordenadas horizontais estão na mínima permitida
é viável e tem altura
que satisfaz
. Calcular a perda de calor nesse ponto (apenas para comparar):
com
e
. Fazendo as contas:
Esse valor é menor do que os valores testados em outras fronteiras (por exemplo, quando
e
obtivemos
). Assim o ponto
é o minimizador admissível.