Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função
Informações dadas:
- A função está definida para todo
. - Precisamos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e depois classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Encontrar as derivadas parciais primeiras (gradiente). Vou explicar passo a passo como derivar: use a regra do produto e a regra da cadeia. Defina
para facilitar; então
.
Derivando em relação a
:
Aqui
(porque
é constante quando derivamos em relação a
) e
pela regra da cadeia (derivada de
em relação a
é
). Substituindo:
De modo análogo, derivando em relação a
(trocando papéis de
e
):
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolver o sistema
, i.e.
pois
para todo
, então podemos dividir por
.
Resolver por casos:
- Se
, da segunda equação obtemos . Logo é solução. - Se
então . Substituindo na segunda equação, temos então precisa ser , ou seja .
Assim obtemos quatro combinações:.
Não há outras soluções. Portanto os pontos críticos são:
Passo 4
Método de classificação (segundo derivada para funções de duas variáveis). Vou explicar a ideia: calcule a matriz Hessiana
e use o discriminante
avaliado no ponto crítico:
- Se
então ponto de sela. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local.
(Seo teste é inconclusivo.)
Agora calculamos as segundas derivadas explicitamente.]
Passo 5
Calcular as derivadas segundas com atenção aos passos (vou derivar cada termo explicando):
Temos
com
.
Derivando
em relação a
:
Usando produto:
e
. Logo
Assim
De forma análoga, derivando
em relação a
:
Agora a derivada mista
: derive
em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, e
. Assim
(Nota:
como esperado.)
Resumindo:
com
.
Passo 6
Classificar o ponto crítico
.
Avalie as segundas derivadas em
: aqui
e
.
Calcule
. Pelo critério,
implica que
é ponto de sela.
Passo 7
Classificar os quatro pontos
.
Nestes pontos temos
, logo
e
. Além disso
e
. Portanto
E
Igualmente
.
Calcule
nesses pontos:
Como
, obtemos
Então
. A classificação depende do sinal de
:
- Se
(ou seja e têm o mesmo sinal), então e o ponto é máximo local. - Se
(ou seja e têm sinais opostos), então e o ponto é mínimo local.
Assim:
- Pontos com mesmo sinal:
e são máximos locais. O valor da função nesses pontos é
(positiva porque
.)
- Pontos com sinais opostos:
e são mínimos locais. O valor da função nesses pontos é
Resposta
Máximos locais:
,
com valor
.\n
Mínimos locais: ,
com valor
.\n
Ponto de sela: (valor
).
Mínimos locais:
Ponto de sela: