Determine os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=x y e^{-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função
f(x,y)=x y e^{-x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e depois classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Encontrar as derivadas parciais primeiras (gradiente). Vou explicar passo a passo como derivar: use a regra do produto e a regra da cadeia. Defina s=x^{2}+y^{2} para facilitar; então f(x,y)=x y e^{-s}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x y)\,e^{-s} + x y \,\frac{\partial}{\partial x}(e^{-s}).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y (porque y é constante quando derivamos em relação a x) e \frac{\partial}{\partial x}(e^{-s})=e^{-s}\cdot(-2x) pela regra da cadeia (derivada de -s em relação a x é -2x). Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{-s} + x y \bigl(e^{-s}(-2x)\bigr) = y e^{-s}\bigl(1-2x^{2}\bigr).
De modo análogo, derivando em relação a y (trocando papéis de x e y):
\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{-s}\bigl(1-2y^{2}\bigr).

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolver o sistema \nabla f=0, i.e.
y(1-2x^{2})=0,\qquad x(1-2y^{2})=0,
pois e^{-s}>0 para todo (x,y), então podemos dividir por e^{-s}.
Resolver por casos:
  • Se y=0, da segunda equação obtemos x(1-0)=x=0. Logo (0,0) é solução.
  • Se 1-2x^{2}=0 então x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. Substituindo na segunda equação, temos x\neq0 então precisa ser 1-2y^{2}=0, ou seja y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
    Assim obtemos quatro combinações: \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Não há outras soluções. Portanto os pontos críticos são:
(0,0),\quad \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 4

Método de classificação (segundo derivada para funções de duas variáveis). Vou explicar a ideia: calcule a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
e use o discriminante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} avaliado no ponto crítico:
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    (Se D=0 o teste é inconclusivo.)
Agora calculamos as segundas derivadas explicitamente.]

Passo 5

Calcular as derivadas segundas com atenção aos passos (vou derivar cada termo explicando):
Temos \displaystyle f_x = y e^{-s}(1-2x^{2}) com s=x^{2}+y^{2}.
Derivando f_x em relação a x:
f_{xx} = y\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{-s}(1-2x^{2})\bigr].
Usando produto: \frac{\partial}{\partial x}(e^{-s})=e^{-s}(-2x) e \frac{\partial}{\partial x}(1-2x^{2})=-4x. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{-s}(1-2x^{2})\bigr] =e^{-s}\bigl[-2x(1-2x^{2})\bigr]+e^{-s}(-4x) =e^{-s}\bigl(4x^{3}-6x\bigr).
Assim
f_{xx}=y e^{-s}\bigl(4x^{3}-6x\bigr)=2x y e^{-s}\bigl(2x^{2}-3\bigr).
De forma análoga, derivando f_y = x e^{-s}(1-2y^{2}) em relação a y:
f_{yy}=2x y e^{-s}\bigl(2y^{2}-3\bigr).
Agora a derivada mista f_{xy}: derive f_x em relação a y:
f_{xy} = e^{-s}(1-2x^{2}) + y\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{-s}(1-2x^{2})\bigr].
Aqui 1-2x^{2} é constante em relação a y, e \frac{\partial}{\partial y}(e^{-s})=e^{-s}(-2y). Assim
f_{xy} = e^{-s}(1-2x^{2}) + y\bigl(e^{-s}(-2y)(1-2x^{2})\bigr) = e^{-s}(1-2x^{2})(1-2y^{2}).
(Nota: f_{xy}=f_{yx} como esperado.)
Resumindo:
f_{xx}=2x y e^{-s}(2x^{2}-3),\qquad f_{yy}=2x y e^{-s}(2y^{2}-3),\qquad f_{xy}=e^{-s}(1-2x^{2})(1-2y^{2}),
com s=x^{2}+y^{2}.

Passo 6

Classificar o ponto crítico (0,0).
Avalie as segundas derivadas em (0,0): aqui s=0 e e^{-s}=1.
f_{xx}(0,0)=0,\qquad f_{yy}(0,0)=0,\qquad f_{xy}(0,0)=1.
Calcule D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=0\cdot 0 - 1^{2}=-1<0. Pelo critério, D<0 implica que (0,0) é ponto de sela.

Passo 7

Classificar os quatro pontos \left(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Nestes pontos temos x^{2}=y^{2}=\tfrac{1}{2}, logo s=1 e e^{-s}=e^{-1}. Além disso 1-2x^{2}=1-2\cdot\tfrac{1}{2}=0 e 1-2y^{2}=0. Portanto
f_{xy}=e^{-1}\cdot 0\cdot 0=0.
E
f_{xx}=2x y e^{-1}(2x^{2}-3)=2x y e^{-1}(1-3)=2x y e^{-1}(-2)=-4x y e^{-1}.
Igualmente f_{yy}=-4x y e^{-1}.
Calcule D nesses pontos:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-4x y e^{-1})^{2}-0=16x^{2}y^{2}e^{-2}.
Como x^{2}y^{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{1}{4}, obtemos
D=16\cdot \tfrac{1}{4}\,e^{-2}=4e^{-2}>0.
Então D>0. A classificação depende do sinal de f_{xx}:
f_{xx}=-4x y e^{-1}.
  • Se x y>0 (ou seja x e y têm o mesmo sinal), então f_{xx}<0 e o ponto é máximo local.
  • Se x y<0 (ou seja x e y têm sinais opostos), então f_{xx}>0 e o ponto é mínimo local.
Assim:
  • Pontos com mesmo sinal: \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) são máximos locais. O valor da função nesses pontos é
f\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = x y e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1}=\frac{1}{2e}.
(positiva porque x y=+\tfrac{1}{2}.)
  • Pontos com sinais opostos: \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) são mínimos locais. O valor da função nesses pontos é
f\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\mp\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = -\frac{1}{2}e^{-1}=-\frac{1}{2e}.

Resposta

Máximos locais: \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right), \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) com valor f=\dfrac{1}{2e}.\n
Mínimos locais: \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right), \left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right) com valor f=-\dfrac{1}{2e}.\n
Ponto de sela: (0,0) (valor f(0,0)=0).

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